Determinan Matriks n x n


Matriks Persegi, Permutasi, dan Fungsi Signum

Matriks persegi merupakan matriks dengan jumlah kolom dan baris sama besar, ${\rm{n \times n}}$ dengan komponennya adalah $A$. Matriks ${\bf{A}}$ berikut merupakan matriks persegi berukuran ${\rm{4 \times 4}}$.

\[{\bf{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&4&8&2\\ 4&1&0&7\\ 6&3&3&5\\ 9&2&4&1 \end{array}} \right]\]

Permutasi merupakan langkah menyusun kembali suatu barisan angka-angka. Permutasi ganjil terjadi jika suatu susunan angka-angka baru tercapai setelah memindahkan anggota barisan awal sebanyak 1, 3, 5, ...$\in $ ganjil kali, begitupun dengan permutasi genap. Contohnya adalah sebagai berikut:

TABEL 1.

Susunan Awal {1,2,3,4}
Banyaknya Pemindahan Angka
1 Kali 2 Kali 3 Kali
{2,1,3,4}
{1,3,2,4}
{1,2,4,3}
{1,4,3,2}
{3,2,1,4}
{4,2,3,1}		 {2,3,1,4}
{1,3,4,2}
{1,4,2,3}
{3,4,1,2}
{3,1,2,4}
{3,2,4,1}
{2,1,4,3}
{2,4,3,1}
{4,3,2,1}
{4,2,1,3}
{4,1,3,2}
{1,2,3,4}		 {2,3,4,1}
{3,4,2,1}
{2,4,1,3}
{3,1,4,2}
{4,1,2,3}
{4,3,1,2}
${\mathop{\rm sgn}} \left( \sigma \right) = - 1$ ${\mathop{\rm sgn}} \left( \sigma \right) = 1$ ${\mathop{\rm sgn}} \left( \sigma \right) = - 1$

Misalkan penulis ambil susunan {4,1,2,3}. Diperlukan 3 kali pemindahan angka-angka di {1,2,3,4} untuk membentuk {4,1,2,3}:

  1. Langkah pertama, mengganti posisi 4 dengan 1; {1,2,3,4}$\to ${4,2,3,1},
  2. Langkah kedua, mengganti posisi 1 dengan 2; {4,2,3,1}$\to ${4,1,3,2},
  3. Langkah ketiga, mengganti posisi 3 dengan 2; {4,1,3,2}$\to ${4,1,2,3}.

Karena itulah susunan {4,1,2,3} disebut permutasi ganjil dari {1,2,3,4}. Himpunan hasil proses permutasi dilambangkan oleh $\sigma $, dan kelompok himpunan hasil permutasi n-simbol ( dalam hal ini 4 simbol, dengan kelompok himpunannya adalah [{2,1,3,4},{1,3,2,4},...,{4,3,1,2}] ) dilambangkan ${S_n}$ atau terkadang ${P_n}$.

Fungsi signum, ${\mathop{\rm sgn}} \left( x \right)$, merupakan sebuah fungsi dengan tiga nilai: -1 untuk permutasi ganjil, 1 untuk permutasi genap, dan 0 untuk yang lainnya.

Rumus Leibniz dari Determinan dan Penggunaannya

Determinan matriks, secara umum dapat ditentukan melalui rumus berikut.

(1.) \[\det \left( {\bf{A}} \right) = \sum\limits_{\sigma \in {S_n}} {{\rm{sgn}}\left( \sigma \right)\prod\limits_{i = 1}^n {{A_{i,{\sigma _i}}}} } \]

Maksud dari ${\prod\limits_{i = 1}^n {{A_{i,{\sigma _i}}}} }$ adalah, jika misalnya penulis ambil $\sigma = \left\{ {4,1,2,3} \right\}$ ( mengimplikasikan n sama dengan 4 ), maka:

(2.)\[\prod\limits_{i = 1}^n {{A_{i,{\sigma _i}}}} = \prod\limits_{i = 1}^4 {{A_{i,{{\left\{ {4,1,2,3} \right\}}_i}}}} = {A_{1,4}}{A_{2,1}}{A_{3,2}}{A_{4,3}}\]

Kita bisa menentukan determinan dari $\bf{A}$. Penentuan determinan dilakukan pada Tabel 2, dengan penyusunan kolom mengikuti aturan pada Tabel 1 dan perkalian mengikuti rumus (2.)

TABEL 2.

${\mathop{\rm sgn}} \left( \sigma \right) = - 1$
( penyusunan ulang {1,2,3,4} sebanyak 1 kali )		 ${\mathop{\rm sgn}} \left( \sigma \right) = 1$
( penyusunan ulang {1,2,3,4} sebanyak 2 kali )		 ${\mathop{\rm sgn}} \left( \sigma \right) = - 1$
( penyusunan ulang {1,2,3,4} sebanyak 3 kali )
A1,2A2,1A3,3A4,4= 48
A1,1A2,3A3,2A4,4= 0
A1,1A2,2A3,4A4,3= 40
A1,1A2,4A3,3A4,2= 84
A1,3A2,2A3,1A4,4= 48
A1,4A2,2A3,3A4,1= 54
 A1,2A2,3A3,1A4,4= 0
A1,1A2,3A3,4A4,2= 0
A1,1A2,4A3,2A4,3= 168
A1,3A2,4A3,1A4,2= 672
A1,3A2,1A3,2A4,4= 96
A1,3A2,2A3,4A4,1= 360
A1,2A2,1A3,4A4,3= 320
A1,2A2,4A3,3A4,1= 756
A1,4A2,3A3,2A4,1= 0
A1,4A2,1A3,3A4,2= 48
A1,4A2,2A3,1A4,3= 48
A1,1A2,2A3,3A4,4= 6
 A1,2A2,3A3,4A4,1= 0
A1,3A2,4A3,2A4,1= 1512
A1,2A2,4A3,1A4,3= 672
A1,3A2,1A3,4A4,2= 320
A1,4A2,3A3,1A4,2= 0
A1,4A2,1A3,2A4,3= 96
$\sum {\left[ {{\mathop{\rm sgn}} \left( \sigma \right)\prod\limits_{i = 1}^4 {{A_{i,{\sigma _i}}}} } \right]} $= -274 $\sum {\left[ {{\mathop{\rm sgn}} \left( \sigma \right)\prod\limits_{i = 1}^4 {{A_{i,{\sigma _i}}}} } \right]} $= 2474 $\sum {\left[ {{\mathop{\rm sgn}} \left( \sigma \right)\prod\limits_{i = 1}^4 {{A_{i,{\sigma _i}}}} } \right]} $= -2600
\[\det \left( {\bf{A}} \right) = \sum\limits_{\sigma \in {S_4}} {{\rm{sgn}}\left( \sigma \right)\prod\limits_{i = 1}^4 {{A_{i,{\sigma _i}}}} } \] \[\det \left( {\bf{A}} \right) = - 400\]

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Fungsi Error

Gambar
Fungsi error merupakan salah satu fungsi spesial yang tidak memiliki kaitan sama sekali dengan error atau kesalahan pengukuran. Lebih lanjut, fungsi error ini terkait dengan luasan kurva lonceng $y = {e^{ - {t^2}}}$ dari 0 hingga x. (1.) \[erf(x) = \frac{2}{{\sqrt \pi }}\int\limits_0^x {{e^{ - {t^2}}}dt} \] Deskripsi penggunaan fungsi error dijelaskan oleh gambar berikut. Titik-titik pada sumbu bukanlah puluhan, hal tersebut terjadi karena penggunaan font gambar yang kurang baik :-(. Pencarian Nilai Fungsi Error pada Nilai x Kecil Nilai fungsi error dapat didekati dengan menggunakan deret Mac Laurin pada nilai x kecil (nilai x antara -1 dan 1). Pencarian deret Mac Laurin untuk fungsi error (erf) di atas bisa kita mulai dengan pengertian deret Mac Laurin itu sendiri. Deret Mac Laurin (2.) \[f\left( x \right) = f\left( 0 \right) + x \cdot f'\left( 0 \right) + {x^2} \cdot \frac{{{f^2}\left( 0 \right)}}{{2!}} + ... + {x^n} \cdot \frac{{{f^n}\left( 0 \right)}}{{n!}} + ...\]
Baca selengkapnya

Kuliah Kerja Nyata di Kemujan

Gambar
Selayang Pandang mengenai Kuliah Kerja Nyata Kuliah Kerja Nyata (KKN) merupakan rangkaian kegiatan mahasiswa yang dilakukan di tengah masyarakat selama jangka waktu tertentu. Pada KKN, mahasiswa dituntut untuk menerapkan ilmu-ilmu yang menjadi area studinya. Peraturan KKN PPM UGM 2014 adalah program pokok tema minimal 160 jam, dan program bantu 88 jam. Program pokok tema adalah segala kegiatan mahasiswa yang terkait dengan tema (baik secara langsung maupun tidak langsung) dan terkait dengan area studi . Misalkan pembaca dari Fakultas Teknik Geologi dilempar untuk KKN di kawasan Kemujan, dengan tema KKN "pemberdayaan potensi masyarakat lokal", maka program pokok pembaca bisa saja: Pemetaan jalan di Desa Kemujan, Penetapan batas dusun bersama perangkat desa, kecamatan, dan masyarakat Pengajaran ilmu geografi untuk murid SD dan madrasah Pengajaran ilmu sains untuk murid SD Sedangkan, program bantu adalah kegiatan mahasiswa yang sifatnya membantu pelaksanaan program po
Baca selengkapnya