Notasi Penanda

Pendahuluan

Sebelum kita melangkah lebih jauh, kita perlu pahami dulu Penanda Bebas (Free Index) dan Penanda Abdi (Dummy Index). Penanda-penanda ini berguna untuk menggambarkan operasi penjumlahan berulang dengan lebih ringkas, sebagaimana contoh berikut.

(1.) \[\sum\limits_{j = 1}^n {\sum\limits_{k = 1}^m {{a_{ij}}{b_{jk}}{c_k}} } = \sum\limits_{j,k} {{a_{ij}}{b_{jk}}{c_k}} = {a_{ij}}{b_{jk}}{c_k}\]

Pada contoh di atas, ${a_{ij}}{b_{jk}}{c_k}$ adalah cara menampilkan penjumlahan $\sum\limits_{j = 1}^n {\sum\limits_{k = 1}^m {{a_{ij}}{b_{jk}}{c_k}} } $ dengan menggunakan notasi penanda (index notation). Pada ${a_{ij}}{b_{jk}}{c_k}$, i merupakan indeks bebas, karena hanya muncul sekali dalam penjumlahan di atas. Huruf i bisa kita gantikan dengan sembarang bilangan natural, entah itu 1, 2, dan seterusnya. Sementara itu, huruf j dan k merupakan indeks abdi dan letaknya harus selalu di belakang indeks bebas. Huruf j dan k tetap bisa diganti dengan bilangan bulat, sebagaimana huruf i. Selain dari sisi peletakan, sebab penamaan huruf j dan k sebagai indeks abdi ini akan terlihat lebih jelas manakala kita berbicara mengenai delta Kronecker dan notasi Levi-Civita.

Delta Kronecker, dilambangkan ${\delta _{ij}}$, dapat dimaknai sebagai berikut.

(2.) \[{\delta _{ij}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1\quad jika\;i = j}\\ {0\quad jika\;i \ne j} \end{array}} \right.\]

Ketika kita mengalikan suatu barisan angka-angka ${A_n}$ dengan delta Kronecker ${\delta _{in}}$, maka secara otomatis n harus mengikuti i dalam rangka membuat ${\delta _{in}} = 1$. Akibatnya, ${A_n}{\delta _{in}} = {A_i}{\delta _{ii}} = {A_i}$. Karena si n ini diperintah si i untuk mengikutinya, maka n disebut penanda abdi atau dummy index.

Notasi Levi-Civita, dilambangkan ${\varepsilon _{ijk}}$, dapat dimaknai sebagai berikut.

(3.) \[{\varepsilon _{ijk}} = {\varepsilon ^{ijk}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { + 1}&{{\rm{jika}}\;(i,j,k)\;{\rm{merupakan}}\;{\rm{permutasi}}\;{\rm{genap}},}\\ { - 1}&{{\rm{jika}}\;(i,j,k)\;{\rm{merupakan}}\;{\rm{permutasi}}\;{\rm{ganjil}},}\\ {\;0}&{{\rm{jika}}\;i = j\;{\rm{atau}}\;j = k\;{\rm{atau}}\;k = i} \end{array}} \right.\]

Permutasi genap, ialah ketika suatu barisan angka-angka (i, j, k) merupakan hasil dari penggantian posisi sebanyak (n=genap) kali dari barisan asalnya. Misalkan (1, 2, 3) saya tukar-tukar posisi angkanya sebanyak dua kali penukaran akan menjadi (2, 3, 1), yang ditukar posisinya pertama kali adalah 1 dan 3, lalu kemudian 3 dan 2. Jika dilakukan 4 kali penukaran terhadap (1, 2, 3), maka barisan tersebut akan menjadi (1, 2, 3) lagi. Pada permutasi ganjil, penggantian dilakukan sebanyak (n=ganjil) kali, misalnya 1 kali, 3 kali, dan seterusnya. Misalkan (1, 2, 3) menjadi (2, 1, 3). Karena itulah barisan-barisan (1, 2, 3), (3, 1, 2), (2, 3, 1), dst. disebut (i, j, k) permutasi genap dan barisan-barisan (1, 3, 2), (2, 1, 3), (3, 2, 1), dst. disebut (i, j, k) permutasi ganjil.

Hubungan antara ${\varepsilon _{ijk}}$ dan ${\delta _{ij}}$

(4.)\[{\varepsilon _{ijk}}{\varepsilon _{imn}} = {\delta _{jm}}{\delta _{kn}} - {\delta _{jn}}{\delta _{km}}\] (5.)\[{\varepsilon _{ijk}}{\varepsilon _{ijn}} = 2{\delta _{kn}}\] (6.)\[{\varepsilon _{ijk}}{\varepsilon _{ijk}} = 6\]

Tullio Levi-Civita (Sumber: http://scienzapertutti.lnf.infn.it/).

Menggunakan Notasi Penanda dalam Operasi Vektor

Vektor $\overrightarrow {\rm{A}} $ dapat dituliskan sebagai berikut.

(7.) \[\overrightarrow {\rm{A}} = {a_1}\widehat {{{\bf{e}}_{\bf{1}}}} + {a_2}\widehat {{{\bf{e}}_{\bf{2}}}} + {a_3}\widehat {{{\bf{e}}_{\bf{3}}}} = \sum\limits_i {{a_i}\widehat {{{\bf{e}}_i}} = } \;{a_i}\widehat {{{\bf{e}}_i}}\]

Operasi dot antara dua vektor $\overrightarrow {\rm{A}} $ dan $\overrightarrow {\rm{B}} $ dapat dituliskan menggunakan delta Kronecker.

(8.) \[\overrightarrow {\rm{A}} \bullet \overrightarrow {\rm{B}} = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3} = \sum\limits_{i,j} {{\delta _{ij}}{a_i}{b_j} = } \;{\delta _{ij}}{a_i}{b_j}\]

Boleh juga $\overrightarrow {\rm{A}} \bullet \overrightarrow {\rm{B}} $ dituliskan sebagai ${a_i}{b_i} = {c}$, karena maknanya sama.

Operasi silang antara vektor $\overrightarrow {\rm{A}} $ dan $\overrightarrow {\rm{B}} $ dapat dituliskan menjadi seperti berikut.

(9.)\[\overrightarrow {\rm{A}} \times \overrightarrow {\rm{B}} = \left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}} \right)\widehat {{{\bf{e}}_{\bf{1}}}} + \left( {{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3}} \right)\widehat {{{\bf{e}}_{\bf{2}}}} + \left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\widehat {{{\bf{e}}_{\bf{3}}}} = \sum\limits_{i,j,k} {{\varepsilon _{ijk}}{a_j}{b_k}\widehat {{{\bf{e}}_i}} = } \;{\varepsilon _{ijk}}{a_j}{b_k}\widehat {{{\bf{e}}_i}}\]

Jika kita ingin menulis operasi gradien dengan ringkas, cukup gunakan notasi penanda seperti berikut.

(10.) \[\nabla \psi = \sum\limits_i {\frac{{\partial \psi }}{{\partial {x_i}}}\widehat {{{\bf{e}}_i}} = } \;{\partial _i}\psi \]

Operasi curl dan div juga dapat ditulis secara ringkas dengan notasi penanda.

(11.a) \[{\mathop{\rm div}\nolimits} \overrightarrow {\rm{B}} = \nabla \bullet \overrightarrow {\rm{B}} = \sum\limits_{i,j} {\frac{{\partial {B_j}}}{{\partial {x_i}}}} \left( {\widehat {{{\bf{e}}_i}} \bullet \widehat {{{\bf{e}}_j}}} \right) = {\partial _i}{B_j}\left( {{\delta _{ij}}} \right) = {B_{j,i}}\left( {{\delta _{ij}}} \right) = {B_{i,i}}\] (11.b) \[{\mathop{\rm div}\nolimits}\; {\mathop{\rm div}\nolimits} \overrightarrow {\rm{B}} = \nabla \bullet \left( {\nabla \bullet \overrightarrow {\rm{B}} } \right) = \sum\limits_i {\frac{{{\partial ^2}{B_i}}}{{\partial x_i^2}}\widehat {{{\bf{e}}_i}}} = {B_{i,ii}}\widehat {{{\bf{e}}_i}}\](11.c) \[{\mathop{\rm curl}\nolimits} \overrightarrow {\rm{B}} = \nabla \times \overrightarrow {\rm{B}} = \sum\limits_{i,j,k} {{\varepsilon _{ijk}}\frac{\partial }{{\partial {x_j}}}{B_k}\widehat {{{\bf{e}}_i}}} = {\varepsilon _{ijk}}{\partial _j}{B_k}\widehat {{{\bf{e}}_i}}\]

Hasil kali dua buah vektor secara langsung, menghasilkan tensor orde kedua, dinamai dyadik.

(12.) \[\begin{array}{l} \overrightarrow {\rm{A}} \overrightarrow {\rm{B}} = \overrightarrow {\rm{A}} \otimes \overrightarrow {\rm{B}} = {A_1}{B_1}\widehat {{{\bf{e}}_1}}\widehat {{{\bf{e}}_1}} + {A_1}{B_2}\widehat {{{\bf{e}}_1}}\widehat {{{\bf{e}}_2}} + \cdots + {A_1}{B_n}\widehat {{{\bf{e}}_1}}\widehat {{{\bf{e}}_n}} + \cdots + {A_n}{B_1}\widehat {{{\bf{e}}_n}}\widehat {{{\bf{e}}_1}} + \cdots + {A_n}{B_n}\widehat {{{\bf{e}}_n}}\widehat {{{\bf{e}}_n}}\\ \overrightarrow {\rm{A}} \overrightarrow {\rm{B}} = \overrightarrow {\rm{A}} \otimes \overrightarrow {\rm{B}} = {A_i}{B_j}\widehat {{{\bf{e}}_i}}\widehat {{{\bf{e}}_j}}\\ \widehat {{{\bf{e}}_1}}\widehat {{{\bf{e}}_1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{array}} \right],\quad \widehat {{{\bf{e}}_3}}\widehat {{{\bf{e}}_2}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&1&0 \end{array}} \right],\quad \widehat {{{\bf{e}}_2}}\widehat {{{\bf{e}}_3}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{array}} \right],\quad dst. \end{array}\]

Selain digunakan dalam operasi vektor, notasi penanda juga digunakan dalam berbagai operasi tensor, dengan pemaknaan yang sedikit berbeda.

Leopold Kronecker (Sumber: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/).

Membuktikan Beberapa Identitas Vektor dengan Notasi Penanda

(13.) Membuktikan bahwa $\overrightarrow {\rm{A}} \times \left( {\overrightarrow {\rm{C}} \times \overrightarrow {\rm{B}} } \right) = \left( {\overrightarrow {\rm{A}} \bullet \overrightarrow {\rm{B}} } \right)\overrightarrow {\rm{C}} - \left( {\overrightarrow {\rm{A}} \bullet \overrightarrow {\rm{C}} } \right)\overrightarrow {\rm{B}} $:

\[\begin{align*} \overrightarrow {\rm{A}} \times \left( {\overrightarrow {\rm{C}} \times \overrightarrow {\rm{B}} } \right) &= {A_l}\widehat {{{\bf{e}}_l}} \times {\varepsilon _{ijk}}{C_j}{B_k}\widehat {{{\bf{e}}_i}}\\ \overrightarrow {\rm{A}} \times \left( {\overrightarrow {\rm{C}} \times \overrightarrow {\rm{B}} } \right)&= {A_l}{\varepsilon _{ijk}}{C_j}{B_k}\left( {\widehat {{{\bf{e}}_l}} \times \widehat {{{\bf{e}}_i}}} \right)\\ \overrightarrow {\rm{A}} \times \left( {\overrightarrow {\rm{C}} \times \overrightarrow {\rm{B}} } \right)&= {A_l}{\varepsilon _{ijk}}{C_j}{B_k}\left( {1 \cdot 1} \right){\varepsilon _{hli}}\widehat {{{\bf{e}}_h}}\quad \quad \widehat {{{\bf{e}}_l}} = \widehat {{{\bf{e}}_i}}= {\rm{vektor}}\;{\rm{satuan}}{\rm{,}}\;{\rm{magnitudonya}}\;1\\ \overrightarrow {\rm{A}} \times \left( {\overrightarrow {\rm{C}} \times \overrightarrow {\rm{B}} } \right)&= {A_l}{C_j}{B_k}\left( {1 \cdot 1} \right){\varepsilon _{ijk}}{\varepsilon _{ihl}}\widehat {{{\bf{e}}_h}}\quad \quad {\varepsilon _{hli}} = {\varepsilon _{ihl}}\\ \overrightarrow {\rm{A}} \times \left( {\overrightarrow {\rm{C}} \times \overrightarrow {\rm{B}} } \right)&= {A_l}{C_j}{B_k}\left( {{\delta _{jh}}{\delta _{kl}} - {\delta _{jl}}{\delta _{kh}}} \right)\widehat {{{\bf{e}}_h}}\\ \overrightarrow {\rm{A}} \times \left( {\overrightarrow {\rm{C}} \times \overrightarrow {\rm{B}} } \right)&= {\delta _{jh}}{\delta _{kl}}{A_l}{C_j}{B_k}\widehat {{{\bf{e}}_h}} - {\delta _{jl}}{\delta _{kh}}{A_l}{C_j}{B_k}\widehat {{{\bf{e}}_h}}\\ \overrightarrow {\rm{A}} \times \left( {\overrightarrow {\rm{C}} \times \overrightarrow {\rm{B}} } \right)&= {A_k}{C_j}{B_k}\widehat {{{\bf{e}}_j}} - {A_j}{C_j}{B_k}\widehat {{{\bf{e}}_k}}\quad \quad {\delta _{jh}}\;\rm{diset\;menjadi\;}{\delta _{jj}}\rm{,dan\;juga\;yang\;lainnya\;agar\;semua\;}\delta = 1\\ \overrightarrow {\rm{A}} \times \left( {\overrightarrow {\rm{C}} \times \overrightarrow {\rm{B}} } \right)&= \left( {\overrightarrow {\rm{A}} \bullet \overrightarrow {\rm{B}} } \right){C_j}\widehat {{{\bf{e}}_j}} - \left( {\overrightarrow {\rm{A}} \bullet \overrightarrow {\rm{C}} } \right){B_k}\widehat {{{\bf{e}}_k}}\\ \overrightarrow {\rm{A}} \times \left( {\overrightarrow {\rm{C}} \times \overrightarrow {\rm{B}} } \right)&= \left( {\overrightarrow {\rm{A}} \bullet \overrightarrow {\rm{B}} } \right)\overrightarrow {\rm{C}} - \left( {\overrightarrow {\rm{A}} \bullet \overrightarrow {\rm{C}} } \right)\overrightarrow {\rm{B}} \quad \blacksquare \end{align*} \]

(14.) Disediakan dua buah vektor $\overrightarrow {\rm{a}} $ dan $\overrightarrow {\rm{b}} $, kedua vektor tersebut bersifat konstan. Buktikan bahwa $\nabla \left( {\overrightarrow {\rm{a}} \cdot \overrightarrow {\rm{b}} \times \overrightarrow {\rm{r}} } \right) = \overrightarrow {\rm{a}} \times \overrightarrow {\rm{b}} $.

\[\begin{align*} \nabla \left( {\overrightarrow {\rm{a}} \cdot \overrightarrow {\rm{b}} \times \overrightarrow {\rm{r}} } \right) &= \nabla \left( {{{\rm{a}}_i}\widehat {{{\bf{e}}_i}} \cdot {{\rm{b}}_j}{{\rm{x}}_k}{\varepsilon _{ljk}}\widehat {{{\bf{e}}_l}}} \right)\quad \quad \quad \overrightarrow {\rm{r}} = {x_1}\widehat {{{\bf{e}}_1}} + \cdots + {x_n}\widehat {{{\bf{e}}_n}},\;{\rm{vektor}}\;{\rm{posisi}}\\ \nabla \left( {\overrightarrow {\rm{a}} \cdot \overrightarrow {\rm{b}} \times \overrightarrow {\rm{r}} } \right) &= {\partial _k}\left( {{{\rm{a}}_i}{{\rm{b}}_j}{{\rm{x}}_k}{\varepsilon _{ljk}}\widehat {{{\bf{e}}_i}} \cdot \widehat {{{\bf{e}}_l}}} \right)\widehat {{{\bf{e}}_k}}\quad \quad \nabla = \frac{\partial }{{\partial {x_1}}}\widehat {{{\bf{e}}_1}} + \cdots + \frac{\partial }{{\partial {x_n}}}\widehat {{{\bf{e}}_n}}\\ \nabla \left( {\overrightarrow {\rm{a}} \cdot \overrightarrow {\rm{b}} \times \overrightarrow {\rm{r}} } \right) &= {\partial _k}{{\rm{x}}_k}\left( {{{\rm{a}}_i}{{\rm{b}}_j}{\varepsilon _{ljk}}{\delta _{il}}} \right)\widehat {{{\bf{e}}_k}}\\ \nabla \left( {\overrightarrow {\rm{a}} \cdot \overrightarrow {\rm{b}} \times \overrightarrow {\rm{r}} } \right) &= \left( {{{\rm{a}}_i}{{\rm{b}}_j}{\varepsilon _{ijk}}} \right)\widehat {{{\bf{e}}_k}}\quad \quad \quad \quad {\delta _{il}}\;{\rm{dijadikan}}\;{\delta _{ii}} = 1,\;{\partial _k}{{\rm{x}}_k} = 1\\ \nabla \left( {\overrightarrow {\rm{a}} \cdot \overrightarrow {\rm{b}} \times \overrightarrow {\rm{r}} } \right) &= \left( {{{\rm{a}}_i}{{\rm{b}}_j}{\varepsilon _{kij}}} \right)\widehat {{{\bf{e}}_k}}\quad \quad \quad \quad {\varepsilon _{kij}} = {\varepsilon _{ijk}},\;{\rm{sama-sama}}\;{\rm{permutasi}}\;{\rm{genap}}\\ \nabla \left( {\overrightarrow {\rm{a}} \cdot \overrightarrow {\rm{b}} \times \overrightarrow {\rm{r}} } \right) &= \overrightarrow {\rm{a}} \times \overrightarrow {\rm{b}} \;\; \blacksquare \end{align*} \]

(15.) Energi kinetik suatu partikel tunggal adalah $K = {\textstyle{1 \over 2}}m{v^2}$. Karena partikel tersebut mengalami gerak rotasi murni, maka $\vec v = \vec \omega \times \vec r$. Buktikan bahwa $K = {\textstyle{1 \over 2}}m\left[ {{r^2}{\omega ^2} - {{\left( {\vec r \bullet \vec \omega } \right)}^2}} \right]$.

\[\begin{align*} K &= {\textstyle{1 \over 2}}m{v^2} = {\textstyle{1 \over 2}}m{\left( {\vec \omega \times \vec r} \right)^2}\\ K &= {\textstyle{1 \over 2}}m\left( {\vec \omega \times \vec r} \right) \bullet \left( {\vec \omega \times \vec r} \right)\\ K &= {\textstyle{1 \over 2}}m{\omega _j}{r_k}{\omega _j}{r_k}{\varepsilon _{ijk}}{\varepsilon _{ijk}}\left( {\widehat {{{\bf{e}}_i}} \bullet \widehat {{{\bf{e}}_i}}} \right)\\ K &= {\textstyle{1 \over 2}}m{\omega _j}{r_k}{\omega _j}{r_k}\left( {{\delta _{jj}}{\delta _{kk}} - {\delta _{jk}}{\delta _{kj}}} \right){\delta _{ii}}\quad \quad {\varepsilon _{ijk}}{\varepsilon _{ijk}} = {\delta _{jj}}{\delta _{kk}} - {\delta _{jk}}{\delta _{kj}},\;\quad \widehat {{{\bf{e}}_i}} \bullet \widehat {{{\bf{e}}_i}} = {\delta _{ii}} = 1\\ K &= {\textstyle{1 \over 2}}m\left( {{\omega _j}{r_k}{\omega _j}{r_k} - {\delta _{jk}}{\delta _{kj}}{\omega _j}{r_k}{\omega _j}{r_k}} \right)\\ K &= {\textstyle{1 \over 2}}m\left( {\omega _j^2r_k^2 - {\delta _{jk}}{\omega _j}{r_k} \cdot {\delta _{kj}}{r_k}{\omega _j}} \right)\quad \quad {\rm{sifat}}\;{\rm{komutatif}}\;{\rm{perkalian}}{\rm{,}}\;{r_k}{\omega _j} = {\omega _j}{r_k}\\ K &= {\textstyle{1 \over 2}}m\left[ {\omega _j^2r_k^2 - \left( {\vec \omega \bullet \vec r} \right) \cdot \left( {\vec r \bullet \vec \omega } \right)} \right]\quad \quad {\delta _{kj}}{r_k}{\omega _j} = \vec r \bullet \vec \omega ,\;{\rm{dan}}\;{\rm{yang}}\;{\rm{lainnya}}\\ K &= {\textstyle{1 \over 2}}m\left[ {\omega _j^2r_k^2 - \left( {\vec r \bullet \vec \omega } \right) \cdot \left( {\vec r \bullet \vec \omega } \right)} \right]\quad \quad {\rm{sifat}}\;{\rm{asosiatif}}\;{\rm{operasi}}\;{\rm{dot}}{\rm{,}}\;\vec r \bullet \vec \omega = \vec \omega \bullet \vec r\\ K &= {\textstyle{1 \over 2}}m\left[ {{r^2}{\omega ^2} - {{\left( {\vec r \bullet \vec \omega } \right)}^2}} \right] \;\; \blacksquare \end{align*} \]