Fungsi Error

Fungsi error merupakan salah satu fungsi spesial yang tidak memiliki kaitan sama sekali dengan error atau kesalahan pengukuran. Lebih lanjut, fungsi error ini terkait dengan luasan kurva lonceng $y = {e^{ - {t^2}}}$ dari 0 hingga x.

(1.)

\[erf(x) = \frac{2}{{\sqrt \pi }}\int\limits_0^x {{e^{ - {t^2}}}dt} \]

Deskripsi penggunaan fungsi error dijelaskan oleh gambar berikut.

Titik-titik pada sumbu bukanlah puluhan, hal tersebut terjadi karena penggunaan font gambar yang kurang baik :-(.

Pencarian Nilai Fungsi Error pada Nilai x Kecil

Nilai fungsi error dapat didekati dengan menggunakan deret Mac Laurin pada nilai x kecil (nilai x antara -1 dan 1). Pencarian deret Mac Laurin untuk fungsi error (erf) di atas bisa kita mulai dengan pengertian deret Mac Laurin itu sendiri.

Deret Mac Laurin
(2.) \[f\left( x \right) = f\left( 0 \right) + x \cdot f'\left( 0 \right) + {x^2} \cdot \frac{{{f^2}\left( 0 \right)}}{{2!}} + ... + {x^n} \cdot \frac{{{f^n}\left( 0 \right)}}{{n!}} + ...\]

Dari sini, kita bisa mulai menemukan deret Mac Laurin untuk ${e^x}$. Ingat kembali bahwa turunan dari ${e^x}$ sama dengan ${e^x}$.

(3.) \[{e^x} = {e^0} + x{e^0} + \frac{{{x^2}{e^0}}}{{2!}} + ... = 1 + x + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + ... = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{n!}}} \]

Kemudian kita menggantikan variabel x pada ${e^x}$ dengan $ - {t^2}$, sehingga perumusan (3.) berubah menjadi deret berikut.

(4.) \[{e^{ - {t^2}}} = {e^0} + \left( { - {t^2}} \right){e^0} + \frac{{{{\left( { - {t^2}} \right)}^2}{e^0}}}{{2!}} + ... = 1 - {t^2} + \frac{{{t^4}}}{{2!}} + ... = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{t^{2n}}}}{{n!}}} \]

Dari sini, kita bisa masukkan deret tersebut ke perumusan (1.) sehingga menjadi perumusan (5.) di bawah.

(5.) \[erf\left( x \right) = \frac{2}{{\sqrt \pi }}\int\limits_0^x {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{t^{2n}}}}{{n!}}} dt} \]

Melihat perumusan (5.) di atas, nampaknya sulit sekali. Tapi begitu kita tahu bahwa disana ada dt, maka kita tahu variabel yang terlibat proses integrasi hanyalah variabel t dan variabel lainnya, keluar dari lambang integrasi. Pada perumusan selanjutnya, kita bisa melihat bagaimana operator penjumlahan deret ($\Sigma$) menjadi berada di luar, melingkupi operator integral.

(6.) \[erf\left( x \right) = \frac{2}{{\sqrt \pi }}\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n!}}\int\limits_0^x {{t^{2n}}dt} } \]

Sekarang kita fokus dulu ke bentuk ${\int\limits_0^x {{t^{2n}}dt} }$ pada perumusan (6.) di atas. Dengan teknik integrasi yang dulu pernah kita dapatkan semasa SMA, kita bisa dengan mudah mengetahui bahwa :

(7.)\[\int\limits_0^x {{t^{2n}}dt} = \left. {\frac{{{t^{2n + 1}}}}{{2n + 1}}} \right|_0^x = \frac{{{x^{2n + 1}}}}{{2n + 1}} - 0.\]

Sehingga hasil akhirnya adalah:

(8.)\[erf\left( x \right) = \frac{2}{{\sqrt \pi }}\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n} \cdot {x^{2n + 1}}}}{{n! \cdot \left( {2n + 1} \right)}}} .\]

Perumusan (8.) tadi sangat sering dipakai dalam algoritma pencarian nilai $erf\left( x \right)$ pada nilai x yang cukup kecil. Pada nilai x yang besar, maka algoritma yang digunakan berbeda. Hal tersebut karena, walaupun perumusan (8.) tetap memberikan nilai $erf\left( x \right)$ yang bagus untuk x besar, tapi waktu perhitungan yang dihabiskan komputer jadi lebih lama karena membutuhkan operasi perulangan yang lebih banyak. Gambar di bawah menerangkan kesesuaian perumusan (8.) dengan fungsi $erf\left( x \right)$ sebenarnya (kurva merah). Perumusan (8.) yang digunakan untuk plot kurva biru putus-putus di bawah dihitung hingga suku n ke-9.

Pencarian Nilai Fungsi Error pada x Besar

Pada x besar, (biasanya nilai x besar adalah nilai x>1 dan nilai x<-1) maka pencarian nilai fungsi error dilaksanakan dengan bantuan fungsi error komplementer, erfc(x). Fungsi error komplementer ini didefinisikan sebagai berikut.

(9.)

\[erfc\left( x \right) = \frac{2}{{\sqrt \pi }}\int\limits_x^\infty {{e^{ - {t^2}}}dt} \]

Fungsi erfc(x) ini punya hubungan spesial dengan fungsi erf(x), yaitu erfc(x) + erf(x) = 1. Hal ini dibuktikan dengan perumusan berikut.

(10.)\[erfc\left( x \right) + erf\left( x \right) = \frac{2}{{\sqrt \pi }}\int\limits_x^\infty {{e^{ - {t^2}}}dt} + \frac{2}{{\sqrt \pi }}\int\limits_0^x {{e^{ - {t^2}}}dt} = \frac{2}{{\sqrt \pi }}\int\limits_0^\infty {{e^{ - {t^2}}}dt} \]

Mengganti t² dengan s, maka perumusan 10 menjadi:

(11.)\[erfc\left( x \right) + erf\left( x \right) = \frac{2}{{\sqrt \pi }}\int\limits_0^\infty {\frac{{{e^{ - s}}}}{{2\sqrt s }}ds} = \frac{2}{{\sqrt \pi }} \cdot \frac{{\Gamma \left( {\frac{1}{2}} \right)}}{2} = \frac{2}{{\sqrt \pi }} \cdot \frac{{\sqrt \pi }}{2}\]

${\Gamma \left( {\frac{1}{2}} \right)}$ merupakan fungsi gamma, penjelasannya dapat dilihat di web geofisika UGM ini.

(12.)\[erfc\left( x \right) + erf\left( x \right) = 1\]

Dengan sifat istimewa seperti di atas, kita bisa menentukan deret yang digunakan untuk menemukan pendekatan nilai erf(x) pada x besar. Deret ini berasal dari erf(x) = 1- erfc(x). Teknik pencarian deret tersebut akan saya jelaskan di bawah.

(13.)\[erf\left( x \right) = 1 - erfc\left( x \right)\](14.)\[erf\left( x \right) = 1 - \frac{2}{{\sqrt \pi }}\int\limits_x^\infty {{e^{ - {t^2}}}dt} \]

Mengganti t² dengan s, maka perumusan 14 menjadi:

(15.)\[erf\left( x \right) = 1 - \frac{2}{{\sqrt \pi }}\int\limits_{{x^2}}^\infty {\frac{{{e^{ - s}}}}{{2\sqrt s }}ds} = 1 - \frac{1}{{\sqrt \pi }}\int\limits_{{x^2}}^\infty {\frac{{{e^{ - s}}}}{{\sqrt s }}ds} \]

Kemudian kita mendefinisikan sebuah fungsi baru bernama ${F_n}\left( x \right)$ yang dapat didefinisikan sebagaimana pada perumusan (16.). Ekspansi fungsi ${F_n}\left( x \right)$ (perumusan (17.))dilaksanakan dengan teknik pengintegralan $\int {UdV} = UV - \int {VdU} $.

(16.)\[{F_n}\left( x \right) = \int\limits_{{x^2}}^\infty {\frac{{{e^{ - s}}}}{{\left( {{s^n}\sqrt s } \right)}}ds} = \int\limits_{{x^2}}^\infty {{e^{ - s}} \cdot {s^{ - n - \frac{1}{2}}}ds} \](17.)\[{F_n}\left( x \right) = \left. { - {s^{ - \left( {n + \frac{1}{2}} \right)}}{e^{ - s}}} \right|_{{x^2}}^\infty - \left( {n + \frac{1}{2}} \right)\int\limits_{{x^2}}^\infty {{e^{ - s}} \cdot {s^{ - n - \frac{3}{2}}}ds} \](18.)\[{F_n}\left( x \right) = {x^{ - \left( {2n + 1} \right)}}{e^{ - {x^2}}} - \left( {n + \frac{1}{2}} \right){F_{n + 1}}\left( x \right)\]

Menghubungkan fungsi ${F_n}\left( x \right)$ ke fungsi erf(x)....

(19.)\[erf\left( x \right) = 1 - \frac{1}{{\sqrt \pi }}\int\limits_{{x^2}}^\infty {\frac{{{e^{ - s}}}}{{\sqrt s }}ds} = 1 - \frac{{{F_0}\left( x \right)}}{{\sqrt \pi }}\](20.)\[erf\left( x \right) = 1 - \frac{1}{{\sqrt \pi }}\left[ {{x^{ - 1}}{e^{ - {x^2}}} - \frac{1}{2}\left( {{x^{ - 3}}{e^{ - {x^2}}} - \frac{3}{2}\left( {{x^{ - 5}}{e^{ - {x^2}}} - \frac{5}{2}{F_3}\left( x \right)} \right)} \right)} \right]\](21.)\[erf\left( x \right) = 1 - \frac{1}{{\sqrt \pi }}\left[ {{x^{ - 1}}{e^{ - {x^2}}} - \frac{{{x^{ - 3}}{e^{ - {x^2}}}}}{2} + \frac{{3{x^{ - 5}}{e^{ - {x^2}}}}}{4} - \frac{{3 \cdot 5{x^{ - 7}}{e^{ - {x^2}}}}}{8} + ...} \right]\]

Dari perumusan no. (21.), kita bisa melihat bahwa deret yang digunakan untuk menemukan pendekatan nilai erf(x) pada x besar (lebih dari 1) adalah sebagai berikut.
(22.)\[erf\left( x \right) = 1 - \frac{{{e^{ - {x^2}}}}}{{\sqrt \pi }}\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}\left( {2n - 1} \right)!!}}{{{2^n}{x^{2n + 1}}}}} .\] Sedangkan pada nilai x kurang dari -1, deret yang digunakan adalah seperti berikut.
(23.)\[erf\left( { - x} \right) = - erf\left( x \right) = \frac{{{e^{ - {x^2}}}}}{{\sqrt \pi }}\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}\left( {2n - 1} \right)!!}}{{{2^n}{x^{2n + 1}}}}} - 1.\] Fungsi $x!!$ dikenal sebagai faktorial ganda, didefinisikan sebagai $x!! = x \cdot \left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right)\left( {x - 8} \right)...n$, n=1 jika x ganjil dan n=2 jika x genap.

Plot fungsi Erf(x) (ungu), perumusan (8.), hingga n=9, dalam warna biru muda, dan perumusan (22.), hingga n=6, dalam warna hijau muda.

Plot fungsi Erf(x) (ungu), perumusan (8.), hingga n=9, dalam warna biru muda, dan perumusan (23.), hingga n=6, dalam warna hijau muda.