Determinan Matriks n x n


Matriks Persegi, Permutasi, dan Fungsi Signum

Matriks persegi merupakan matriks dengan jumlah kolom dan baris sama besar, ${\rm{n \times n}}$ dengan komponennya adalah $A$. Matriks ${\bf{A}}$ berikut merupakan matriks persegi berukuran ${\rm{4 \times 4}}$.

\[{\bf{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&4&8&2\\ 4&1&0&7\\ 6&3&3&5\\ 9&2&4&1 \end{array}} \right]\]

Permutasi merupakan langkah menyusun kembali suatu barisan angka-angka. Permutasi ganjil terjadi jika suatu susunan angka-angka baru tercapai setelah memindahkan anggota barisan awal sebanyak 1, 3, 5, ...$\in $ ganjil kali, begitupun dengan permutasi genap. Contohnya adalah sebagai berikut:

TABEL 1.

Susunan Awal {1,2,3,4}
Banyaknya Pemindahan Angka
1 Kali 2 Kali 3 Kali
{2,1,3,4}
{1,3,2,4}
{1,2,4,3}
{1,4,3,2}
{3,2,1,4}
{4,2,3,1}		 {2,3,1,4}
{1,3,4,2}
{1,4,2,3}
{3,4,1,2}
{3,1,2,4}
{3,2,4,1}
{2,1,4,3}
{2,4,3,1}
{4,3,2,1}
{4,2,1,3}
{4,1,3,2}
{1,2,3,4}		 {2,3,4,1}
{3,4,2,1}
{2,4,1,3}
{3,1,4,2}
{4,1,2,3}
{4,3,1,2}
${\mathop{\rm sgn}} \left( \sigma \right) = - 1$ ${\mathop{\rm sgn}} \left( \sigma \right) = 1$ ${\mathop{\rm sgn}} \left( \sigma \right) = - 1$

Misalkan penulis ambil susunan {4,1,2,3}. Diperlukan 3 kali pemindahan angka-angka di {1,2,3,4} untuk membentuk {4,1,2,3}:

  1. Langkah pertama, mengganti posisi 4 dengan 1; {1,2,3,4}$\to ${4,2,3,1},
  2. Langkah kedua, mengganti posisi 1 dengan 2; {4,2,3,1}$\to ${4,1,3,2},
  3. Langkah ketiga, mengganti posisi 3 dengan 2; {4,1,3,2}$\to ${4,1,2,3}.

Karena itulah susunan {4,1,2,3} disebut permutasi ganjil dari {1,2,3,4}. Himpunan hasil proses permutasi dilambangkan oleh $\sigma $, dan kelompok himpunan hasil permutasi n-simbol ( dalam hal ini 4 simbol, dengan kelompok himpunannya adalah [{2,1,3,4},{1,3,2,4},...,{4,3,1,2}] ) dilambangkan ${S_n}$ atau terkadang ${P_n}$.

Fungsi signum, ${\mathop{\rm sgn}} \left( x \right)$, merupakan sebuah fungsi dengan tiga nilai: -1 untuk permutasi ganjil, 1 untuk permutasi genap, dan 0 untuk yang lainnya.

Rumus Leibniz dari Determinan dan Penggunaannya

Determinan matriks, secara umum dapat ditentukan melalui rumus berikut.

(1.) \[\det \left( {\bf{A}} \right) = \sum\limits_{\sigma \in {S_n}} {{\rm{sgn}}\left( \sigma \right)\prod\limits_{i = 1}^n {{A_{i,{\sigma _i}}}} } \]

Maksud dari ${\prod\limits_{i = 1}^n {{A_{i,{\sigma _i}}}} }$ adalah, jika misalnya penulis ambil $\sigma = \left\{ {4,1,2,3} \right\}$ ( mengimplikasikan n sama dengan 4 ), maka:

(2.)\[\prod\limits_{i = 1}^n {{A_{i,{\sigma _i}}}} = \prod\limits_{i = 1}^4 {{A_{i,{{\left\{ {4,1,2,3} \right\}}_i}}}} = {A_{1,4}}{A_{2,1}}{A_{3,2}}{A_{4,3}}\]

Kita bisa menentukan determinan dari $\bf{A}$. Penentuan determinan dilakukan pada Tabel 2, dengan penyusunan kolom mengikuti aturan pada Tabel 1 dan perkalian mengikuti rumus (2.)

TABEL 2.

${\mathop{\rm sgn}} \left( \sigma \right) = - 1$
( penyusunan ulang {1,2,3,4} sebanyak 1 kali )		 ${\mathop{\rm sgn}} \left( \sigma \right) = 1$
( penyusunan ulang {1,2,3,4} sebanyak 2 kali )		 ${\mathop{\rm sgn}} \left( \sigma \right) = - 1$
( penyusunan ulang {1,2,3,4} sebanyak 3 kali )
A1,2A2,1A3,3A4,4= 48
A1,1A2,3A3,2A4,4= 0
A1,1A2,2A3,4A4,3= 40
A1,1A2,4A3,3A4,2= 84
A1,3A2,2A3,1A4,4= 48
A1,4A2,2A3,3A4,1= 54
 A1,2A2,3A3,1A4,4= 0
A1,1A2,3A3,4A4,2= 0
A1,1A2,4A3,2A4,3= 168
A1,3A2,4A3,1A4,2= 672
A1,3A2,1A3,2A4,4= 96
A1,3A2,2A3,4A4,1= 360
A1,2A2,1A3,4A4,3= 320
A1,2A2,4A3,3A4,1= 756
A1,4A2,3A3,2A4,1= 0
A1,4A2,1A3,3A4,2= 48
A1,4A2,2A3,1A4,3= 48
A1,1A2,2A3,3A4,4= 6
 A1,2A2,3A3,4A4,1= 0
A1,3A2,4A3,2A4,1= 1512
A1,2A2,4A3,1A4,3= 672
A1,3A2,1A3,4A4,2= 320
A1,4A2,3A3,1A4,2= 0
A1,4A2,1A3,2A4,3= 96
$\sum {\left[ {{\mathop{\rm sgn}} \left( \sigma \right)\prod\limits_{i = 1}^4 {{A_{i,{\sigma _i}}}} } \right]} $= -274 $\sum {\left[ {{\mathop{\rm sgn}} \left( \sigma \right)\prod\limits_{i = 1}^4 {{A_{i,{\sigma _i}}}} } \right]} $= 2474 $\sum {\left[ {{\mathop{\rm sgn}} \left( \sigma \right)\prod\limits_{i = 1}^4 {{A_{i,{\sigma _i}}}} } \right]} $= -2600
\[\det \left( {\bf{A}} \right) = \sum\limits_{\sigma \in {S_4}} {{\rm{sgn}}\left( \sigma \right)\prod\limits_{i = 1}^4 {{A_{i,{\sigma _i}}}} } \] \[\det \left( {\bf{A}} \right) = - 400\]

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Fungsi Error

Gambar
Fungsi error merupakan salah satu fungsi spesial yang tidak memiliki kaitan sama sekali dengan error atau kesalahan pengukuran. Lebih lanjut, fungsi error ini terkait dengan luasan kurva lonceng $y = {e^{ - {t^2}}}$ dari 0 hingga x. (1.) \[erf(x) = \frac{2}{{\sqrt \pi }}\int\limits_0^x {{e^{ - {t^2}}}dt} \] Deskripsi penggunaan fungsi error dijelaskan oleh gambar berikut. Titik-titik pada sumbu bukanlah puluhan, hal tersebut terjadi karena penggunaan font gambar yang kurang baik :-(. Pencarian Nilai Fungsi Error pada Nilai x Kecil Nilai fungsi error dapat didekati dengan menggunakan deret Mac Laurin pada nilai x kecil (nilai x antara -1 dan 1). Pencarian deret Mac Laurin untuk fungsi error (erf) di atas bisa kita mulai dengan pengertian deret Mac Laurin itu sendiri. Deret Mac Laurin (2.) \[f\left( x \right) = f\left( 0 \right) + x \cdot f'\left( 0 \right) + {x^2} \cdot \frac{{{f^2}\left( 0 \right)}}{{2!}} + ... + {x^n} \cdot \frac{{{f^n}\left( 0 \right)}}{{n!}} + ...\] ...
Baca selengkapnya

Swanilai (Eigenvalue) dan Pengenalan Wajah

Gambar
Taqabbalallahu minna wa minkum, minal aidzin wal faidzin! Akhirnya kita telah melewati 30 hari puasa Ramadhan 1433 Hijriah. Bagaimana Ramadhan kali ini pembaca ? Semoga amal ibadah kita yang telah lalu diridhai oleh Allah SWT. :-) Fian ceritanya mau mohon maaf lahir bathin dahulu, jikalau ada salah-salah segala macam :'( Maafin ya ... Sekarang Fian ceritanya mau bahas mengenai swanilai (eigenvalue) dan perannya dalam pengenalan wajah. Pembaca pasti sudah tahu kan teknologi pengenalan wajah di beberapa aplikasi atau situs jejaring sosial? Nah teknik pengenalan wajah ini dapat terlaksana diantaranya dengan menggunakan swanilai dari matriks-matriks yang berisi data gambar wajah. Sebelum kita mengetahui swanilai dari suatu gambar, kita perlu memiliki database gambar-gambar wajah. Kemudian, gambar-gambar wajah di database ini dibaca lalu diubah menjadi gambar monokrom secara otomatis (menggunakan MATLAB, Octave, atau skrip yang kita buat sendiri). Gambar monokrom ini memiliki ni...
Baca selengkapnya