Determinan Matriks n x n

Matriks Persegi, Permutasi, dan Fungsi Signum

Matriks persegi merupakan matriks dengan jumlah kolom dan baris sama besar, ${\rm{n \times n}}$ dengan komponennya adalah $A$. Matriks ${\bf{A}}$ berikut merupakan matriks persegi berukuran ${\rm{4 \times 4}}$.

$${\bf{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&4&8&2\\ 4&1&0&7\\ 6&3&3&5\\ 9&2&4&1 \end{array}} \right]$$

Permutasi merupakan langkah menyusun kembali suatu barisan angka-angka. Permutasi ganjil terjadi jika suatu susunan angka-angka baru tercapai setelah memindahkan anggota barisan awal sebanyak 1, 3, 5, ...$\in$ ganjil kali, begitupun dengan permutasi genap. Contohnya adalah sebagai berikut:

TABEL 1.

Susunan Awal	{1,2,3,4}
Banyaknya Pemindahan Angka
1 Kali	2 Kali	3 Kali
{2,1,3,4} {1,3,2,4} {1,2,4,3} {1,4,3,2} {3,2,1,4} {4,2,3,1}	{2,3,1,4} {1,3,4,2} {1,4,2,3} {3,4,1,2} {3,1,2,4} {3,2,4,1} {2,1,4,3} {2,4,3,1} {4,3,2,1} {4,2,1,3} {4,1,3,2} {1,2,3,4}	{2,3,4,1} {3,4,2,1} {2,4,1,3} {3,1,4,2} {4,1,2,3} {4,3,1,2}
${\mathop{\rm sgn}} \left( \sigma \right) = - 1$	${\mathop{\rm sgn}} \left( \sigma \right) = 1$	${\mathop{\rm sgn}} \left( \sigma \right) = - 1$

Misalkan penulis ambil susunan {4,1,2,3}. Diperlukan 3 kali pemindahan angka-angka di {1,2,3,4} untuk membentuk {4,1,2,3}:

1. Langkah pertama, mengganti posisi 4 dengan 1; {1,2,3,4}$\to${4,2,3,1},
2. Langkah kedua, mengganti posisi 1 dengan 2; {4,2,3,1}$\to${4,1,3,2},
3. Langkah ketiga, mengganti posisi 3 dengan 2; {4,1,3,2}$\to${4,1,2,3}.

Karena itulah susunan {4,1,2,3} disebut permutasi ganjil dari {1,2,3,4}. Himpunan hasil proses permutasi dilambangkan oleh $\sigma$, dan kelompok himpunan hasil permutasi n-simbol ( dalam hal ini 4 simbol, dengan kelompok himpunannya adalah [{2,1,3,4},{1,3,2,4},...,{4,3,1,2}] ) dilambangkan ${S_n}$ atau terkadang ${P_n}$.

Fungsi signum, ${\mathop{\rm sgn}} \left( x \right)$, merupakan sebuah fungsi dengan tiga nilai: -1 untuk permutasi ganjil, 1 untuk permutasi genap, dan 0 untuk yang lainnya.

Rumus Leibniz dari Determinan dan Penggunaannya

Determinan matriks, secara umum dapat ditentukan melalui rumus berikut.

(1.) $$\det \left( {\bf{A}} \right) = \sum\limits_{\sigma \in {S_n}} {{\rm{sgn}}\left( \sigma \right)\prod\limits_{i = 1}^n {{A_{i,{\sigma _i}}}} }$$

Maksud dari ${\prod\limits_{i = 1}^n {{A_{i,{\sigma _i}}}} }$ adalah, jika misalnya penulis ambil $\sigma = \left\{ {4,1,2,3} \right\}$ ( mengimplikasikan n sama dengan 4 ), maka:

(2.) $$\prod\limits_{i = 1}^n {{A_{i,{\sigma _i}}}} = \prod\limits_{i = 1}^4 {{A_{i,{{\left\{ {4,1,2,3} \right\}}_i}}}} = {A_{1,4}}{A_{2,1}}{A_{3,2}}{A_{4,3}}$$

Kita bisa menentukan determinan dari $\bf{A}$. Penentuan determinan dilakukan pada Tabel 2, dengan penyusunan kolom mengikuti aturan pada Tabel 1 dan perkalian mengikuti rumus (2.)

TABEL 2.

${\mathop{\rm sgn}} \left( \sigma \right) = - 1$ ( penyusunan ulang {1,2,3,4} sebanyak 1 kali )	${\mathop{\rm sgn}} \left( \sigma \right) = 1$ ( penyusunan ulang {1,2,3,4} sebanyak 2 kali )	${\mathop{\rm sgn}} \left( \sigma \right) = - 1$ ( penyusunan ulang {1,2,3,4} sebanyak 3 kali )
A1,2A2,1A3,3A4,4= 48 A1,1A2,3A3,2A4,4= 0 A1,1A2,2A3,4A4,3= 40 A1,1A2,4A3,3A4,2= 84 A1,3A2,2A3,1A4,4= 48 A1,4A2,2A3,3A4,1= 54	A1,2A2,3A3,1A4,4= 0 A1,1A2,3A3,4A4,2= 0 A1,1A2,4A3,2A4,3= 168 A1,3A2,4A3,1A4,2= 672 A1,3A2,1A3,2A4,4= 96 A1,3A2,2A3,4A4,1= 360 A1,2A2,1A3,4A4,3= 320 A1,2A2,4A3,3A4,1= 756 A1,4A2,3A3,2A4,1= 0 A1,4A2,1A3,3A4,2= 48 A1,4A2,2A3,1A4,3= 48 A1,1A2,2A3,3A4,4= 6	A1,2A2,3A3,4A4,1= 0 A1,3A2,4A3,2A4,1= 1512 A1,2A2,4A3,1A4,3= 672 A1,3A2,1A3,4A4,2= 320 A1,4A2,3A3,1A4,2= 0 A1,4A2,1A3,2A4,3= 96
$\sum {\left[ {{\mathop{\rm sgn}} \left( \sigma \right)\prod\limits_{i = 1}^4 {{A_{i,{\sigma _i}}}} } \right]}$= -274	$\sum {\left[ {{\mathop{\rm sgn}} \left( \sigma \right)\prod\limits_{i = 1}^4 {{A_{i,{\sigma _i}}}} } \right]}$= 2474	$\sum {\left[ {{\mathop{\rm sgn}} \left( \sigma \right)\prod\limits_{i = 1}^4 {{A_{i,{\sigma _i}}}} } \right]}$= -2600
$$\det \left( {\bf{A}} \right) = \sum\limits_{\sigma \in {S_4}} {{\rm{sgn}}\left( \sigma \right)\prod\limits_{i = 1}^4 {{A_{i,{\sigma _i}}}} }$$		$$\det \left( {\bf{A}} \right) = - 400$$