Mengenai Ruang Vektor Linear (I)

$$\mathbb{PENGANTAR}$$
$$\mathsf{\quad Semasa\; SMA\; kelas\; 9\; kita\; telah\; diajarkan\; mengenai\\ vektor.\; Pada\; masa\; itu,\; vektor\; merupakan\; suatu\; hal\; yang\\ sangat\; menakutkan\; baik\; bagi\; penulis\; dan\; temen-temen\; penulis,\\ karena\; memahami\; vektor\; berarti\; mengubah\; sebagian\;besar\; cara\\ pandang\; kita\; mengenai\; gerakan.}$$

Pendahuluan

Vektor adalah suatu objek geometrik yang memiliki arah dan besaran. Misalkan penulis memiliki sebuah vektor ${\mathbf{r}} = x{\mathbf{\hat i}} + y{\mathbf{\hat j}} + z{\mathbf{\hat k}}$, maka dapat kita ketahui dengan jelas bahwa vektor $\mathbf{r}$ memiliki tiga variabel yang perlu kita ketahui ($x,y,z$) sehingga vektor tersebut otomatis terletak pada ruangan berdimensi 3. Jika suatu vektor memiliki n variabel yang perlu diketahui, maka vektor tersebut terletak pada sebuah ruangan berdimensi n. Jika semasa SMP kita mengetahui bahwa jarak terdekat antara dua titik $A({x_1},{y_1})$ dan $B({x_2},{y_2})$ adalah \(S = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} \), maka pemahaman ini dapat kita perluas hingga ke dimensi 3; \(S = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2} + {{\left( {{z_2} - {z_1}} \right)}^2}} \). Jika kita memukul rata perumusan jarak untuk ruang berdimensi n, maka perumusan jarak akan menjadi seperti berikut.

(1.)\[S = \sqrt {\sum\limits_{n = 1}^n {{{\left( {{x_{n,2}} - {x_{n,1}}} \right)}^2}} } \]

Suatu ruang vektor linear terbentuk dari kumpulan beberapa vektor dan kombinasi linear dari vektor-vektor tersebut. Vektor 0 merupakan salah satu kombinasi linear antar vektor, misalkan \({\mathbf{r}} - {\mathbf{r}}\) sehingga vektor 0 merupakan sebuah titik yang selalu ada dalam ruang vektor linear. Sebuah garis, bidang, atau bangun yang tidak melewati titik vektor 0 maka ia tidak bisa disebut ruang vektor linear.

Kombinasi Linear dari Sekumpulan Vektor dalam Sebuah Ruang

Andaikata $\mathsf{V}$ merupakan sebuah ruang vektor, dengan isinya adalah \({{\mathbf{v}}_1},{{\mathbf{v}}_2},...,{{\mathbf{v}}_n}\). Maka kombinasi linear dari \({{\mathbf{v}}_1},{{\mathbf{v}}_2},...,{{\mathbf{v}}_n}\) adalah ${c_1}{{\mathbf{v}}_1}+{c_2}{{\mathbf{v}}_2}+...+{c_n}{{\mathbf{v}}_n}$ dengan ${c_1},\>{c_2},\>...,\>{c_n}$ adalah koefisien kombinasi linear yang merupakan suatu besaran skalar (bilangan nyata).


Sub ruang, Cakupan, Basis, Dimensi

Contoh berikut penulis ambil dari buku Mathematical Methods in the Physical Science karangan Boas.

Andaikata kita punya empat buah vektor $(1,4, - 5),\>(5,2,1),\>(2, - 1,3),\mathsf{dan}\>(3,-6,11)$ maka dengan metode pengurangan baris

Metode Pengurangan Baris

Andaikata saya memiliki sebuah matriks $\mathbf{A}$:

\[{\mathbf{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{1,1}}}& \cdots &{{a_{1,n}}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {{a_{m,1}}}& \cdots &{{a_{m,n}}} \end{array}} \right]\]

maka untuk membentuk matriks baru dari $\mathbf{A}$, yakni matriks $\mathbf{B}$ dengan metode pengurangan baris, ada beberapa aturan yang perlu dipatuhi:

  1. Jika ada baris $i$ pada matriks $\mathbf{A}$ tidak seluruhnya berisi 0, maka pada baris $i$ di matriks $\mathbf{B}$ haruslah diusahakan angka natural pertamanya adalah 1, dengan menambah atau mengurangkan setiap angka di barisan $i$ matriks $\mathbf{A}$ dengan (angka-angka sekolom $\times$ konstanta) dari barisan lain pada matriks $\mathbf{A}$. Proses penambahan dan pengurangan boleh dilakukan lebih dari satu kali. Selain penambahan dan pengurangan, dapat juga dilakukan pembagian atau perkalian dengan bilangan yang menjadi faktor dari angka-angka pada baris $i$ di matriks $\mathbf{B}$ tersebut.
  2. Jika ada baris pada matriks $\mathbf{A}$ yang semuanya berisi 0, maka pada matriks $\mathbf{B}$ barisan ini diletakkan di barisan paling bawah.
  3. Jika ada dua baris bersebelahan (misal baris $i$ dan baris $i+1$ ) di matriks $\mathbf{A}$ yang tidak seluruhnya mengandung 0, maka pada matriks $\mathbf{B}$ diusahakan angka 1 pada baris di bawahnya (baris $i+1$ ) terletak lebih kanan dengan metode yang sama seperti disebut pada no (1.).
  4. Setiap kolom pada matriks $\mathbf{B}$, yang pada kolom tersebut terdapat angka 1 sebagai angka natural pertama pada suatu baris, haruslah berisi 0 di tempat lain pada kolom tersebut.

Dengan ini, matriks $\mathbf{B}$ akan berbentuk seperti ini: \[{\mathbf{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{1,1}}}&{{a_{1,2}}}& \cdots &{{a_{1,n}}} \\ {{a_{2,1}}}&{{a_{2,2}}}& \cdots &{{a_{2,n}}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {{a_{m,1}}}&{{a_{m,2}}}& \cdots &{{a_{m,n}}} \end{array}} \right]\;\;{\text{menjadi}}\quad {\mathbf{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0& \cdots &{{b_{1,n}}} \\ 0&1& \cdots &{{b_{2,n}}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0&0& \cdots &0 \end{array}} \right]\]

Bisa jadi $\left[\begin{array}{*{20}{c}} 1&0& \cdots &{{b_{1,n}}} \end{array}\right]$ dihasilkan dari $\left[\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{1,1}} - c \cdot {a_{3,1}}}&{{a_{1,2}} - c \cdot {a_{3,2}}}&{...}&{{a_{1,n}} - } \end{array}c \cdot {a_{3,n}}\right]$

kita bisa mengetahui bahwa ke empat vektor tersebut merupakan kombinasi linear dari vektor $(9,0,7)$ dan $(0,-9,13)$:

\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 5 \\ 2 \\ 3 \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 2 \\ { - 1} \\ { - 6} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} { - 5} \\ 1 \\ 3 \\ {11} \end{array}} \end{array}} \right] \to \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} 9 \\ 0 \\ 2 \\ 3 \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ { - 18} \\ { - 1} \\ { - 6} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} 7 \\ {26} \\ 3 \\ {11} \end{array}} \end{array}} \right] \to \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} 9 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ { - 9} \\ 0 \\ 0 \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} 7 \\ {13} \\ 0 \\ 0 \end{array}} \end{array}} \right] \to \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {\tfrac{7}{9}} \\ {\tfrac{{ - 13}}{9}} \\ 0 \\ 0 \end{array}} \end{array}} \right]\]

Langkah-langkah yang dilakukan dalam pengurangan baris matriks $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 5 \\ 2 \\ 3 \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 2 \\ { - 1} \\ { - 6} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} { - 5} \\ 1 \\ 3 \\ {11} \end{array}} \end{array}} \right]$ adalah:

  1. Baris kedua matriks baru = Mengurangkan baris kedua matriks lama dengan 5$\times$baris pertama matriks lama.
  2. Baris pertama matriks baru = Menambahkan baris pertama matriks lama dengan 4$\times$baris ketiga matriks lama.
  3. Baris ketiga matriks baru = Baris ketiga matriks lama dikurangi 0.5$\times$baris pertama matriks lama kemudian dikurangi 0.5$\times$baris keempat matriks lama.
  4. Baris keempat matriks baru = Baris keempat matriks lama ditambah 2$\times$baris pertama matriks lama kemudian dikurangi baris kedua matriks lama.
  5. Bagi baris pertama matriks baru dengan 9 dan baris kedua matriks baru dengan -9.

Dengan melihat proses pengurangan baris di atas, jelaslah bahwa vektor-vektor $(1,4, - 5),\>(5,2,1),\>(2, - 1,3),\mathsf{dan}\>(3,-6,11)$ merupakan kombinasi linear dari vektor $(9,0,7)$ dan $(0,-9,13)$. Kita bisa membayangkan adanya sebuah bidang dua dimensi ${{\text{V}}_2}$ yang meliputi titik origin $(0,0,0),\>(9,0,7)$ dan $(0,-9,13)$. Karena vektor-vektor yang terliput bidang ${{\text{V}}_2}$ juga bagian dari ruang tiga dimensi ${{\text{V}}_3}$, maka kita bisa memanggil ${{\text{V}}_2}$ sebagai sub ruang dari ${{\text{V}}_3}$. Akhirnya, semua garis yang tergambar pada bidang ${{\text{V}}_2}$ dan melewati titik $(0,0,0)$ juga merupakan sub ruang dari ${{\text{V}}_2}$ dan ${{\text{V}}_3}$.

Cakupan dari vektor \(\left\{ {{{\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{,}}\;{{\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}},\; \ldots ,{{\mathbf{v}}_3}} \right\}\) didefinisikan sebagai himpunan dari seluruh kombinasi linear vektor tersebut, dalam kasus vektor $(9,0,7)$ dan $(0,-9,13)$ maka cakupannya adalah vektor-vektor $(1,4, - 5),\>(5,2,1),\>(2, - 1,3),\mathsf{dan}\>(3,-6,11)$. Karena vektor-vektor $(1,4, - 5),\>(5,2,1),\>(2, - 1,3),\mathsf{dan}\>(3,-6,11)$ merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor pembentuk ${{\text{V}}_2}$ (yaitu $(9,0,7)$ dan $(0,-9,13)$), maka vektor-vektor $(9,0,7),\>(0,-9,13),\>(1,4, - 5),\>(5,2,1),\>(2, - 1,3),\mathsf{dan}\>(3,-6,11)$ dapat dikatakan tercakup dalam ${{\text{V}}_2}$.

Basis adalah sepasang vektor yang mencakupi sebuah ruang vektor dan mandiri secara linear. Karena vektor-vektor $(9,0,7)$ dan $(0,-9,13)$ mencakupi ruang vektor ${{\text{V}}_2}$ dan mandiri secara linear, dapat dikatakan bahwa kedua vektor tersebut merupakan salah satu basis untuk ${{\text{V}}_2}$.

Vektor-vektor yang Mandiri secara Linear

Andaikata kita menemui kumpulan vektor ${{{\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{,}}\;{{\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}},\; \ldots ,{{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}}}$ dan hanya kombinasi linear $0 \cdot {{\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}} + \;0 \cdot {{\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}} + \; \ldots + 0 \cdot {{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}}$ yang menghasilkan vektor 0 maka dikatakan ${{{\mathbf{v}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{,}}\;{{\mathbf{v}}_{\mathbf{2}}},\; \ldots ,{{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}}}$ mandiri secara linear.

Dimensi sebuah ruang vektor sama dengan jumlah vektor basis yang dimilikinya. ${{\text{V}}_2}$ memiliki dua vektor basis, ${{\text{V}}_3}$ memiliki tiga buah, dan seterusnya.

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Determinan Matriks n x n

Matriks Persegi, Permutasi, dan Fungsi Signum Matriks persegi merupakan matriks dengan jumlah kolom dan baris sama besar, ${\rm{n \times n}}$ dengan komponennya adalah $A$. Matriks ${\bf{A}}$ berikut merupakan matriks persegi berukuran ${\rm{4 \times 4}}$. \[{\bf{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&4&8&2\\ 4&1&0&7\\ 6&3&3&5\\ 9&2&4&1 \end{array}} \right]\] Permutasi merupakan langkah menyusun kembali suatu barisan angka-angka. Permutasi ganjil terjadi jika suatu susunan angka-angka baru tercapai setelah memindahkan anggota barisan awal sebanyak 1, 3, 5, ...$\in $ ganjil kali, begitupun dengan permutasi genap. Contohnya adalah sebagai berikut: TABEL 1. Susunan Awal {1,2,3,4} Banyaknya Pemindahan Angka 1 Kali 2 Kali 3 Kali {2,1,3,4} {1,3,2,4} {1,2,4,3} {1,4,3,2} {3,2,1,4} {4,2,3,1} {2,3,1,4} {1,3,4,2} {1,4,2,3} {3,4,1,2} {3,1,2,4} {3,2,4,1} {2,1,4,3} {2,4,3,1} {4,3,2,1} {4,2,1,3} {4,1,3,2}...
Baca selengkapnya

Fungsi Error

Gambar
Fungsi error merupakan salah satu fungsi spesial yang tidak memiliki kaitan sama sekali dengan error atau kesalahan pengukuran. Lebih lanjut, fungsi error ini terkait dengan luasan kurva lonceng $y = {e^{ - {t^2}}}$ dari 0 hingga x. (1.) \[erf(x) = \frac{2}{{\sqrt \pi }}\int\limits_0^x {{e^{ - {t^2}}}dt} \] Deskripsi penggunaan fungsi error dijelaskan oleh gambar berikut. Titik-titik pada sumbu bukanlah puluhan, hal tersebut terjadi karena penggunaan font gambar yang kurang baik :-(. Pencarian Nilai Fungsi Error pada Nilai x Kecil Nilai fungsi error dapat didekati dengan menggunakan deret Mac Laurin pada nilai x kecil (nilai x antara -1 dan 1). Pencarian deret Mac Laurin untuk fungsi error (erf) di atas bisa kita mulai dengan pengertian deret Mac Laurin itu sendiri. Deret Mac Laurin (2.) \[f\left( x \right) = f\left( 0 \right) + x \cdot f'\left( 0 \right) + {x^2} \cdot \frac{{{f^2}\left( 0 \right)}}{{2!}} + ... + {x^n} \cdot \frac{{{f^n}\left( 0 \right)}}{{n!}} + ...\] ...
Baca selengkapnya

Swanilai (Eigenvalue) dan Pengenalan Wajah

Gambar
Taqabbalallahu minna wa minkum, minal aidzin wal faidzin! Akhirnya kita telah melewati 30 hari puasa Ramadhan 1433 Hijriah. Bagaimana Ramadhan kali ini pembaca ? Semoga amal ibadah kita yang telah lalu diridhai oleh Allah SWT. :-) Fian ceritanya mau mohon maaf lahir bathin dahulu, jikalau ada salah-salah segala macam :'( Maafin ya ... Sekarang Fian ceritanya mau bahas mengenai swanilai (eigenvalue) dan perannya dalam pengenalan wajah. Pembaca pasti sudah tahu kan teknologi pengenalan wajah di beberapa aplikasi atau situs jejaring sosial? Nah teknik pengenalan wajah ini dapat terlaksana diantaranya dengan menggunakan swanilai dari matriks-matriks yang berisi data gambar wajah. Sebelum kita mengetahui swanilai dari suatu gambar, kita perlu memiliki database gambar-gambar wajah. Kemudian, gambar-gambar wajah di database ini dibaca lalu diubah menjadi gambar monokrom secara otomatis (menggunakan MATLAB, Octave, atau skrip yang kita buat sendiri). Gambar monokrom ini memiliki ni...
Baca selengkapnya