Suku Banyak ala Legendre


Latar Belakang

Dalam beberapa permasalahan fisika yang terkait dengan potensial, terdapat beberapa hal yang cukup menantang untuk dipecahkan. Pemecahan masalah-masalah fisika tersebut dapat terbantu berkat adanya suku banyak Legendre (dibaca Lezandeh). Dari mana asal suku banyak Legendre? Jawabannya dibahas di bawah ini.

Persamaan Diferensial Legendre

Persamaan differensial Legendre dapat dirumuskan sebagai berikut.


(1.)\[\left( {1 - {x^2}} \right)\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} - 2x\frac{{{d^1}y}}{{d{x^1}}} + v\left( {v + 1} \right)y = 0,\quad v \in {\mathbb{N}^0}\]

$v$ merupakan bilangan natural 0, 1, 2, 3,...

Persamaan diferensial di atas dapat diselesaikan jika kita menganggap bahwa y merupakan sebuah variabel yang bergantung pada nilai x, $y = f\left( x \right)$. Sementara itu, $f\left( x \right)$ ini dapat dianggap sebagai fungsi yang lembut, ia memiliki turunan di orde berapapun. Tidak salah jika pembaca menganggap bahwa $f\left( x \right)$ ini merupakan turunan pertama, kedua, atau kesekian (ke-n) dari sebuah fungsi x lain yang berorde lebih tinggi, anggap saja fungsi x itu $h\left( x \right)$. Dengan ini, kita bisa merumuskan kembali persamaan diferensial Legendre menjadi seperti berikut.


(2.)\[\left( {1 - {x^2}} \right)\frac{{{d^{n + 2}}h\left( x \right)}}{{d{x^{n + 2}}}} - 2x\frac{{{d^{n + 1}}h\left( x \right)}}{{d{x^{n + 1}}}} + v\left( {v + 1} \right)\frac{{{d^n}h\left( x \right)}}{{d{x^n}}} = 0\]

Menyelesaikan Persamaan Diferensial Legendre

Untuk menyelesaikan persamaan differensial Legendre, pertama-tama kita kalikan persamaan (2.) dengan -1, lalu mengganti variabel $v$ pada persamaan (2.) menjadi $n$ karena $v$ dan $n$ memiliki makna yang sama, yaitu sembarang bilangan bulat positif (termasuk nol). menjadi seperti berikut.

(3.)\[\left( {{x^2} - 1} \right)\frac{{{d^{n + 2}}h\left( x \right)}}{{d{x^{n + 2}}}} + 2x\frac{{{d^{n + 1}}h\left( x \right)}}{{d{x^{n + 1}}}} - n\left( {n + 1} \right)\frac{{{d^n}h\left( x \right)}}{{d{x^n}}} = 0\]

Jika ada yang sudah mempelajari aturan Leibniz dalam proses penurunan fungsi, pasti ada yang dirasakan janggal di persamaan (3.) - seperti ada bagian persamaan yang hilang. Sebelum mengetahui bagian mana yang hilang, penulis mau mengingatkan lagi mengenai aturan Leibniz.

Aturan Leibniz
(4.)\[\frac{{{d^n}\left( {h\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right)}}{{d{x^n}}} = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ k \end{array}} \right) \cdot \left( {\frac{{{d^k}h\left( x \right)}}{{d{x^k}}}} \right)\left( {\frac{{{d^{n - k}}g\left( x \right)}}{{d{x^{n - k}}}}} \right)} \] (5.)\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ k \end{array}} \right) = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\]

Dengan mengganti n dengan n+1, maka persamaan (4.) dapat kita jabarkan sebagai berikut.

(5.)\[\frac{{{d^{n + 1}}\left( {h\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right)}}{{d{x^{n + 1}}}} = \sum\limits_{k = 0}^{n + 1} {\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{k!\left( {n + 1 - k} \right)!}} \cdot \left( {\frac{{{d^k}h\left( x \right)}}{{d{x^k}}}} \right)\left( {\frac{{{d^{n + 1 - k}}g\left( x \right)}}{{d{x^{n + 1 - k}}}}} \right)} \] (6.)\[\frac{{{d^{n + 1}}\left( {h\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right)}}{{d{x^{n + 1}}}} = \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n + 1} \right)!}}\left( {\frac{{{d^0}h\left( x \right)}}{{d{x^0}}}} \right)\left( {\frac{{{d^{n + 1}}g\left( x \right)}}{{d{x^{n + 1}}}}} \right) + ... + \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n + 1} \right)!}}\left( {\frac{{{d^{n + 1}}h\left( x \right)}}{{d{x^{n + 1}}}}} \right)\left( {\frac{{{d^0}g\left( x \right)}}{{d{x^0}}}} \right)\] (7.)\[\frac{{{d^{n + 1}}\left( {h\left( x \right)\cdot g\left( x \right)} \right)}}{{d{x^{n + 1}}}} = h\left( x \right)\left( {\frac{{{d^{n + 1}}g\left( x \right)}}{{d{x^{n + 1}}}}} \right) + \left( {n + 1} \right)\left( {\frac{{dh\left( x \right)}}{{dx}}} \right)\left( {\frac{{{d^n}g\left( x \right)}}{{d{x^n}}}} \right) + \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{{2!}}\left( {\frac{{{d^2}h\left( x \right)}}{{d{x^2}}}} \right)\left( {\frac{{{d^{n - 1}}g\left( x \right)}}{{d{x^{n - 1}}}}} \right) + ... + \left( {\frac{{{d^{n + 1}}h\left( x \right)}}{{d{x^{n + 1}}}}} \right)g\left( x \right)\]

Setelah sedikit mengutak-atik persamaan (3.), pembaca bisa membuktikan bahwa bentuk lengkap persamaan (3.) adalah sebagai berikut.


(8.)\[\left( {{x^2} - 1} \right)\frac{{{d^{n + 2}}h\left( x \right)}}{{d{x^{n + 2}}}} + 2xn\frac{{{d^{n + 1}}h\left( x \right)}}{{d{x^{n + 1}}}} + 2x\frac{{{d^{n + 1}}h\left( x \right)}}{{d{x^{n + 1}}}} + \frac{{2n\left( {n + 1} \right)}}{{2!}} \cdot \frac{{{d^n}h\left( x \right)}}{{d{x^n}}} - 2xn\frac{{{d^{n + 1}}h\left( x \right)}}{{d{x^{n + 1}}}} - 2n\left( {n + 1} \right)\frac{{{d^n}h\left( x \right)}}{{d{x^n}}} = 0\]

Proses penyederhanaan persamaan (8.) dilakukan terus, hingga terlihat bahwa persamaan (3.) merupakan turunan ke-(n+1) dari suatu persamaan lain.


(9.)\[\left( {{x^2} - 1} \right)\frac{{{d^{n + 2}}h\left( x \right)}}{{d{x^{n + 2}}}} + 2x\left( {n + 1} \right)\frac{{{d^{n + 1}}h\left( x \right)}}{{d{x^{n + 1}}}} + \frac{{2n\left( {n + 1} \right)}}{{2!}} \cdot \frac{{{d^n}h\left( x \right)}}{{d{x^n}}} - 2xn\frac{{{d^{n + 1}}h\left( x \right)}}{{d{x^{n + 1}}}} - 2n\left( {n + 1} \right)\frac{{{d^n}h\left( x \right)}}{{d{x^n}}} = 0\] (10.)\[\sum\limits_{k = 0}^{n + 1} {\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{k!\left( {n + 1 - k} \right)!}} \cdot \left( {\frac{{{d^k}\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{d{x^k}}}} \right)\left( {\frac{{{d^{n + 1 - k}}}}{{d{x^{n + 1 - k}}}}\frac{{dh\left( x \right)}}{{dx}}} \right)} - \sum\limits_{k = 0}^{n + 1} {\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{k!\left( {n + 1 - k} \right)!}}} \cdot \left( {\frac{{{d^k}2nx}}{{d{x^k}}}} \right)\left( {\frac{{{d^{n + 1 - k}}h\left( x \right)}}{{d{x^{n + 1 - k}}}}} \right) = 0\] (11.)\[\sum\limits_{k = 0}^{n + 1} {\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{k!\left( {n + 1 - k} \right)!}} \cdot \left( {\frac{{{d^k}\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{d{x^k}}}} \right)\left( {\frac{{{d^{n + 1 - k}}}}{{d{x^{n + 1 - k}}}}\frac{{dh\left( x \right)}}{{dx}}} \right)} - \sum\limits_{k = 0}^{n + 1} {\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{k!\left( {n + 1 - k} \right)!}}} \cdot \left( {\frac{{{d^k}2nx}}{{d{x^k}}}} \right)\left( {\frac{{{d^{n + 1 - k}}h\left( x \right)}}{{d{x^{n + 1 - k}}}}} \right) = 0\] (12.)\[\frac{{{d^{n + 1}}}}{{d{x^{n + 1}}}}\left( {\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot \frac{{dh\left( x \right)}}{{dx}}} \right) - \frac{{{d^{n + 1}}}}{{d{x^{n + 1}}}}\left( {2nx \cdot h\left( x \right)} \right) = 0\]
(13.)\[\frac{{{d^{n + 1}}}}{{d{x^{n + 1}}}}\left( {\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot \frac{{dh\left( x \right)}}{{dx}} - 2nx \cdot h\left( x \right)} \right) = 0\]

Dari persamaan (13.) kita bisa langsung mengetahui fungsi ${h\left( x \right)}$. Mengetahui bahwa turunan ke-(n+1) dari suatu konstanta $C$ adalah 0, maka kita bisa menyamakan ${\left( {{x^2} - 1} \right) \cdot \frac{{dh\left( x \right)}}{{dx}} - 2nx \cdot h\left( x \right)}$ dengan $C$ tersebut.

(14.)\[C = \left( {{x^2} - 1} \right) \cdot \frac{{dh\left( x \right)}}{{dx}} - 2nx \cdot h\left( x \right)\quad \Leftrightarrow \;\;\frac{{C + 2nx}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)}}dx = \frac{{dh\left( x \right)}}{{h\left( x \right)}}\] Persamaan (14.) diintegrasikan untuk mendapatkan $h\left(x\right)$.

(15.)\[\int {\frac{{C + 2nx}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)}}dx} = \int {\frac{{dh\left( x \right)}}{{h\left( x \right)}}} \quad \Leftrightarrow \quad \frac{C}{2}\left[ {\ln \left( {1 - x} \right) - \ln \left( {x + 1} \right)} \right] + \ln \left( {{x^2} - 1} \right) = \ln \left[ {h\left( x \right)} \right]\] (16.)\[{e^{\ln \left[ {h\left( x \right)} \right]}} = h\left( x \right) = {\left[ {\frac{{\left( {1 - x} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)}}} \right]^{C/2}} + {\left( {{x^2} - 1} \right)^n}\]

Sehingga kita bisa mendapatkan $y$ -penyelesaian dari persamaan diferensial Legendre- yang merupakan turunan ke-n dari $h\left( x \right)$.

(17.)\[y = \frac{{{d^n}h\left( x \right)}}{{d{x^n}}} = \frac{{{d^n}}}{{d{x^n}}}\left\{ {{{\left[ {\frac{{1 - x}}{{x + 1}}} \right]}^{C/2}} + {{\left( {{x^2} - 1} \right)}^n}} \right\}\]

Fungsi pada (17.) ini terdefinisi pada $\left| x \right| \leqslant 1$ jika C anggota bilangan ganjil (1, 3, 5, 7, ...). Bentuk fungsi yang umum digunakan memasukkan nilai $C = 0$,


(18.)\[y = \frac{{{d^n}{h_0}\left( x \right)}}{{d{x^n}}} = \frac{{{d^n}}}{{d{x^n}}}{\left( {{x^2} - 1} \right)^n}.\]

Persamaan (17.) dan (18.) sudah merupakan sebuah suku banyak atau Polinomial.

Rumus Rodrigues sebagai Salah Satu Penyelesaian Persamaan Diferensial Legendre

Rumus Rodrigues adalah rumus yang diketemukan pertama kali oleh Olinde Rodrigues tahun 1816 dalam makalahnya yang berjudul De l'attraction des sphéroïdes atau "Tarikan antara dua bola" - sebuah makalah mengenai kelistrikan. Rumus ini merupakan persamaan (18.) yang dikalikan sebuah koefisien $K$, sedemikian sehingga nilai Rumus Rodrigues pada x=1 adalah 1. Hal ini penting ketika kita mengaplikasikan persamaan diferensial Legendre pada kasus-kasus yang $x = \sin \left( \theta \right)$. Bagaimana penurunan rumus Rodrigues? Hal yang pertama kali kita lakukan adalah memasukkan x=1 pada persamaan diferensial Legendre (3.), sehingga menghasilkan persamaan berikut.


(19.)\[2\frac{{{d^{n + 1}}h\left( x \right)}}{{d{x^{n + 1}}}} - n\left( {n + 1} \right)\frac{{{d^n}h\left( x \right)}}{{d{x^n}}} = 0\]

Kemudian kita mencari nilai $y\left( x \right)$ pada $x=1$. Hal yang perlu kita lakukan pertama kali adalah mencari $y\left( x \right)$ itu sendiri. Dengan aturan Leibniz, persamaan (18.) dapat dimekarkan menjadi seperti berikut.


(20.)\[y\left( x \right) = \frac{{{d^n}}}{{d{x^n}}}{\left( {{x^2} - 1} \right)^n} = \frac{{{d^n}}}{{d{x^n}}}{\left( {x - 1} \right)^n}{\left( {x + 1} \right)^n}\] (21.)\[y\left( x \right) = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\frac{{{d^k}{{\left( {x - 1} \right)}^n}}}{{d{x^k}}}\frac{{{d^{n - k}}{{\left( {x + 1} \right)}^n}}}{{d{x^{n - k}}}}} \] (22.)\[y\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^n}\frac{{{d^n}{{\left( {x + 1} \right)}^n}}}{{d{x^n}}} + {n^2}{\left( {x - 1} \right)^{n - 1}}\frac{{{d^{n - 1}}{{\left( {x + 1} \right)}^n}}}{{d{x^{n - 1}}}} + ... + \frac{{{d^{n - 1}}{{\left( {x - 1} \right)}^n}}}{{d{x^{n - 1}}}}{n^2}{\left( {x + 1} \right)^{n - 1}} + {\left( {x + 1} \right)^n}\frac{{{d^n}{{\left( {x - 1} \right)}^n}}}{{d{x^n}}}\]

Mengetahui bahwa suku terbesar pada ${{{\left( {x - 1} \right)}^n}}$ dan ${{{\left( {x + 1} \right)}^n}}$ adalah ${x^n}$ sehingga baik \(\frac{{{d^n}{{\left( {x + 1} \right)}^n}}}{{d{x^n}}}\) maupun \(\frac{{{d^n}{{\left( {x - 1} \right)}^n}}}{{d{x^n}}}\) akan menghasilkan \({n!}\), maka persamaan (22.) dapat dijadikan


(23.)\[y\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^n}n! + {n^2}{\left( {x - 1} \right)^{n - 1}}\frac{{{d^{n - 1}}{{\left( {x + 1} \right)}^n}}}{{d{x^{n - 1}}}} + ... + \frac{{{d^{n - 1}}{{\left( {x - 1} \right)}^n}}}{{d{x^{n - 1}}}}{n^2}{\left( {x + 1} \right)^{n - 1}} + {\left( {x + 1} \right)^n}n!.\]

Implikasinya, ketika x=1 maka suku-suku \(\left( {x - 1} \right)\) akan lenyap (jadi nol), sehingga y(1) sama dengan:


(24.)\[y\left( 1 \right) = {2^n}n!.\]

Karena Rumus Rodrigues merupakan \(K \cdot y\left( 1 \right) = 1\), maka \(K = \frac{1}{{{2^n}n!}}.\) Rumus Rodrigues ini dikenal sebagai Suku Banyak (Polinomial) Legendre tipe Pertama, dengan rumusan lengkap sebagai berikut.

(25.)\[{P_n}\left( x \right) = \frac{1}{{{2^n}n!}}\frac{{{d^n}}}{{d{x^n}}}{\left( {{x^2} - 1} \right)^n}\]

Kita bisa juga melihat bahwa pada x=1, berapapun nilai \(n \in {\mathbb{N}^0}\) mampu menyelesaikan persamaan diferensial Legendre, dalam bahasa lain, \({P_n}\left( 1 \right) = 1\). Kegiatan tambahan yang perlu kita lakukan membuktikan hal tersebut adalah mencari bentuk \(\frac{{{d^{n + 1}}h\left( x \right)}}{{d{x^{n + 1}}}} = \frac{{dy\left( x \right)}}{{dx}}\), boleh memakai cara aturan Leibniz atau yang lain.


(26.)\[\frac{{dy\left( x \right)}}{{dx}} = n{\left( {x - 1} \right)^{n - 1}}n! + {n^2}\left( {n - 1} \right){\left( {x - 1} \right)^{n - 2}}\frac{{{d^{n - 1}}{{\left( {x + 1} \right)}^n}}}{{d{x^{n - 1}}}} + ... + \frac{{{d^n}{{\left( {x - 1} \right)}^n}}}{{d{x^n}}}{n^2}{\left( {x + 1} \right)^{n - 1}} + n{\left( {x + 1} \right)^{n - 1}}n!\] (27.)\[\frac{{dy\left( x \right)}}{{dx}} = n{\left( {x - 1} \right)^{n - 1}}n! + {n^2}\left( {n - 1} \right){\left( {x - 1} \right)^{n - 2}}\frac{{{d^{n - 1}}{{\left( {x + 1} \right)}^n}}}{{d{x^{n - 1}}}} + ... + n!{n^2}{\left( {x + 1} \right)^{n - 1}} + n{\left( {x + 1} \right)^{n - 1}}n!\]

Dengan memasukkan x=1 pada \(\frac{{dy\left( x \right)}}{{dx}}\) maka dapat diketahui bahwa :


(28.)\[{\left. {\frac{{dy\left( x \right)}}{{dx}}} \right|_{x = 1}} = n!{n^2}{\left( 2 \right)^{n - 1}} + n{\left( 2 \right)^{n - 1}}n! = \frac{{{2^n}n!}}{2}n\left( {n + 1} \right)\]

Memasukkan \(x = 1\), ${\left. {\frac{{dy}}{{dx}}} \right|_{x = 1}} = \frac{{{2^n}n!}}{2}n\left( {n + 1} \right)$, $y\left( 1 \right) = {2^n}n!$ pada persamaan Legendre (3.):


(29.)\[\rlap{-} 2 \cdot \frac{{{2^n}n!}}{{\rlap{-} 2}}n\left( {n + 1} \right) - n\left( {n + 1} \right){2^n}n! = 0\]

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Determinan Matriks n x n

Matriks Persegi, Permutasi, dan Fungsi Signum Matriks persegi merupakan matriks dengan jumlah kolom dan baris sama besar, ${\rm{n \times n}}$ dengan komponennya adalah $A$. Matriks ${\bf{A}}$ berikut merupakan matriks persegi berukuran ${\rm{4 \times 4}}$. \[{\bf{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&4&8&2\\ 4&1&0&7\\ 6&3&3&5\\ 9&2&4&1 \end{array}} \right]\] Permutasi merupakan langkah menyusun kembali suatu barisan angka-angka. Permutasi ganjil terjadi jika suatu susunan angka-angka baru tercapai setelah memindahkan anggota barisan awal sebanyak 1, 3, 5, ...$\in $ ganjil kali, begitupun dengan permutasi genap. Contohnya adalah sebagai berikut: TABEL 1. Susunan Awal {1,2,3,4} Banyaknya Pemindahan Angka 1 Kali 2 Kali 3 Kali {2,1,3,4} {1,3,2,4} {1,2,4,3} {1,4,3,2} {3,2,1,4} {4,2,3,1} {2,3,1,4} {1,3,4,2} {1,4,2,3} {3,4,1,2} {3,1,2,4} {3,2,4,1} {2,1,4,3} {2,4,3,1} {4,3,2,1} {4,2,1,3} {4,1,3,2}...
Baca selengkapnya

Fungsi Error

Gambar
Fungsi error merupakan salah satu fungsi spesial yang tidak memiliki kaitan sama sekali dengan error atau kesalahan pengukuran. Lebih lanjut, fungsi error ini terkait dengan luasan kurva lonceng $y = {e^{ - {t^2}}}$ dari 0 hingga x. (1.) \[erf(x) = \frac{2}{{\sqrt \pi }}\int\limits_0^x {{e^{ - {t^2}}}dt} \] Deskripsi penggunaan fungsi error dijelaskan oleh gambar berikut. Titik-titik pada sumbu bukanlah puluhan, hal tersebut terjadi karena penggunaan font gambar yang kurang baik :-(. Pencarian Nilai Fungsi Error pada Nilai x Kecil Nilai fungsi error dapat didekati dengan menggunakan deret Mac Laurin pada nilai x kecil (nilai x antara -1 dan 1). Pencarian deret Mac Laurin untuk fungsi error (erf) di atas bisa kita mulai dengan pengertian deret Mac Laurin itu sendiri. Deret Mac Laurin (2.) \[f\left( x \right) = f\left( 0 \right) + x \cdot f'\left( 0 \right) + {x^2} \cdot \frac{{{f^2}\left( 0 \right)}}{{2!}} + ... + {x^n} \cdot \frac{{{f^n}\left( 0 \right)}}{{n!}} + ...\] ...
Baca selengkapnya

Swanilai (Eigenvalue) dan Pengenalan Wajah

Gambar
Taqabbalallahu minna wa minkum, minal aidzin wal faidzin! Akhirnya kita telah melewati 30 hari puasa Ramadhan 1433 Hijriah. Bagaimana Ramadhan kali ini pembaca ? Semoga amal ibadah kita yang telah lalu diridhai oleh Allah SWT. :-) Fian ceritanya mau mohon maaf lahir bathin dahulu, jikalau ada salah-salah segala macam :'( Maafin ya ... Sekarang Fian ceritanya mau bahas mengenai swanilai (eigenvalue) dan perannya dalam pengenalan wajah. Pembaca pasti sudah tahu kan teknologi pengenalan wajah di beberapa aplikasi atau situs jejaring sosial? Nah teknik pengenalan wajah ini dapat terlaksana diantaranya dengan menggunakan swanilai dari matriks-matriks yang berisi data gambar wajah. Sebelum kita mengetahui swanilai dari suatu gambar, kita perlu memiliki database gambar-gambar wajah. Kemudian, gambar-gambar wajah di database ini dibaca lalu diubah menjadi gambar monokrom secara otomatis (menggunakan MATLAB, Octave, atau skrip yang kita buat sendiri). Gambar monokrom ini memiliki ni...
Baca selengkapnya