Energi Kinetik Pulsa dan Fungsi Gamma

Persoalan Awal

sumber: www.cloud.edu

Diberikan sebuah pulsa ξ dengan fungsi sebagaimana berikut.

$$\xi \left( {x,t} \right) = {\xi _0}{e^{ - {{\left( {x - {c_w}t} \right)}^2}/{a^2}}}$$

c_w adalah kecepatan rambat pulsa pada suatu pegas dengan kepadatan per satuan panjang ρ_l dan modulus elastisitas K. Hitunglah energi kinetik, energi potensial, dan momentum dari pulsa tersebut.

Logika Pemecahan Soal

Bentuk persamaan di atas menggambarkan sebuah pulsa yang merambat sepanjang pegas tanpa teredam sedikitpun (tidak ada faktor redaman dalam persamaan $\xi \left( {x,t} \right)$. Jika seandainya ada, maka $\xi \left( {x,t} \right) = {\xi _0} \cdot k\left( t \right) \cdot {e^{ - {{\left( {x - {c_w}t} \right)}^2}/{a^2}}}$ dengan $k\left( t \right)$ adalah faktor redaman, bisa juga diganti $k\left( x \right)$). Arah rambatan pulsa ke kanan (karena x dan t berlainan tanda). Ketika pegas diberi pulsa fungsi gaussian, maka seluruh bagian pegas akan bergerak hingga pulsa tersebut lenyap - walapun pergerakannya pelan sekali di luar bagian pulsa. Hal ini sejalan dengan nilai fungsi gaussian yang sangat kecil apabila domainnya berada di luar jangkauan deviasi standar.
Ketika kita ditanyakan mengenai energi (baik kinetik maupun potensial) dan momentum, tanpa ada embel-embel lain, berarti kita sedang ditanya mengenai energi total dan momentum total pulsa. Karena energi itu kekal dari waktu ke waktu, maka energi dan momentum yang ada pada pulsa adalah sama kapanpun waktunya (energi dan momentum pada t₁ sama dengan pada t₂, tentunya hingga pulsa tersebut lenyap di ujung pegas). Hal ini membuat variabel waktu menjadi kurang penting, bahkan dapat dianggap sebagai konstanta saja (energi pulsa dapat dianalisis pada satu waktu tertentu saja) dalam analisa energi total dan momentum total. Untuk mempermudah pemecahan soal di atas, kita bisa andaikan pegas tersebut membentang dari -∞ hingga ∞ karena pada kedua lokasi tersebut nilai fungsi gaussian adalah 0. Dengan menetapkan ujung-ujung pegas terletak pada -∞ dan ∞, pulsa akan kekal adanya, sehingga hukum kekekalan energi dan momentum pada pulsa dapat dengan mudah ditaati dan masuk ke logika kita.

Sebuah pulsa yang bergerak pada tali, di suatu waktu.

Energi Kinetik Pulsa Total

Dari buku Introduction to Wave Phenomena edisi tahun 1985, karangan Akira Hirose dan Karl E. Lonngren (ISBN 0-471-81440-7) halaman 63, terdapat perumusan berikut.

(1.)

$$K.E = \frac{1}{2}m{\left( {\frac{{\partial \xi }}{{\partial t}}} \right)^2}$$

Kita bisa masukkan $\frac{{\partial \xi }}{{\partial t}}$ dari soal dan mengasumsikan bahwa massa adalah ρ_l dikalikan panjang x, maka persamaan (1.) menjadi seperti berikut.

(1.a) Karena:

$$\frac{{\partial \xi }}{{\partial t}} = {\xi _0}{e^{ - {{\left( {x - {c_w}t} \right)}^2}/{a^2}}} \cdot \frac{{2{c_w}}}{{{a^2}}}\left( {x - {c_w}t} \right)$$

(2.)

$$K.E = {\rho _l}x\xi _0^2{e^{ - 2{{\left( {x - {c_w}t} \right)}^2}/{a^2}}} \cdot \frac{{2c_w^2}}{{{a^4}}}{\left( {x - {c_w}t} \right)^2}$$

Pada panjang x yang cukup kecil, maka x berubah menjadi dx, sedang K.E berubah menjadi d(K.E).

(3.)

$$d\left( {K.E} \right) = {\rho _l}\xi _0^2{e^{ - 2{{\left( {x - {c_w}t} \right)}^2}/{a^2}}} \cdot \frac{{2c_w^2}}{{{a^4}}}{\left( {x - {c_w}t} \right)^2}dx$$

Energi kinetik (K.E) total adalah integrasi d(K.E) dari 0 hingga K.E. Hal ini sama saja mengintegrasikan energi pada seluruh sistem pegas yang dipengaruhi pulsa, yaitu dari x = -∞ hingga ∞.

(4.)

$$\int\limits_0^{K.E} {d\left( {K.E} \right)} = {\rho _l}\xi _0^2\frac{{2c_w^2}}{{{a^4}}}\int_{ - \infty }^\infty {{e^{ - 2{{\left( {x - {c_w}t} \right)}^2}/{a^2}}}{{\left( {x - {c_w}t} \right)}^2}dx}$$

Andaikan $v = x - {c_w}t$, maka

(5.)

$$\int\limits_0^{K.E} {d\left( {K.E} \right)} = K.E = {\rho _l}\xi _0^2\frac{{2c_w^2}}{{{a^4}}}\int_{ - \infty }^\infty {{e^{ - 2{v^2}/{a^2}}}{v^2}dv}$$

Karena fungsi ${{e^{ - 2{v^2}/{a^2}}}}$ merupakan fungsi genap, yaitu fungsi yang nilainya ketika x negatif sama dengan ketika x positif, maka integral pada persamaan (5.) dapat diubah menjadi seperti berikut.

(5.a)

$$K.E = {\rho _l}\xi _0^2\frac{{2c_w^2}}{{{a^4}}} \cdot 2\int_0^\infty {{e^{ - 2{v^2}/{a^2}}}{v^2}dv}$$

Andaikan $b = 2{v^2}/{a^2}$ sehingga $dv = \frac{a}{{2\sqrt 2 }} \cdot \frac{1}{{\sqrt b }}db$ maka persamaan (5.a) dapat diubah menjadi seperti berikut.

(6.)

$$K.E = {\rho _l}\xi _0^2\frac{{2c_w^2}}{{{a^4}}} \cdot 2\int_0^\infty {{e^{ - b}}\frac{{{a^3}\sqrt b }}{{4\sqrt 2 }}db}$$

(6.a)

$$K.E = {\rho _l}\xi _0^2\frac{{c_w^2}}{{a\sqrt 2 }} \cdot \int_0^\infty {{e^{ - b}}\sqrt b db}$$

Integral pada persamaan (6.a) dapat diselesaikan menggunakan fungsi gamma. Bagi yang belum terlalu mengerti mengenai fungsi gamma, bisa membaca di web geofisika UGM 2011.

(7.)

$$K.E = {\rho _l}\xi _0^2\frac{{c_w^2}}{{a\sqrt 2 }} \cdot \int_0^\infty {{e^{ - b}}{b^{\frac{3}{2} - 1}}db} = {\rho _l}\xi _0^2\frac{{c_w^2}}{{a\sqrt 2 }}\Gamma \left( {\frac{3}{2}} \right)$$

(7.a)

$$K.E = {\rho _l}\xi _0^2\frac{{c_w^2}}{{a\sqrt 2 }}\frac{1}{2}\Gamma \left( {\frac{1}{2}} \right) = K.E = {\rho _l}\xi _0^2\frac{{c_w^2}}{{a\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt \pi }}{2}$$

(8.)

$$K.E = \frac{{{\rho _l}c_w^2\xi _0^2}}{{2a}} \cdot \sqrt {\frac{\pi }{2}}$$

Energi Potensial Pulsa Total

Masih dari buku Introduction to Wave Phenomena halaman 63, terdapat persamaan untuk energi potensial yang dibawa gelombang.

(9.)

$$P.E = \frac{1}{2}k{\left( {\Delta x} \right)^2}{\left( {\frac{{\partial \xi }}{{\partial x}}} \right)^2} = \frac{{m \cdot c_w^2}}{2}{\left( {\frac{{\partial \xi }}{{\partial x}}} \right)^2} = \frac{{{\rho _l}x \cdot c_w^2}}{2}{\left( {\frac{{\partial \xi }}{{\partial x}}} \right)^2}$$

Masukkan $\frac{{\partial \xi }}{{\partial x}}$ ....

(9.a)

$$\frac{{\partial \xi }}{{\partial x}} = - {\xi _0}{e^{ - {{\left( {x - {c_w}t} \right)}^2}/{a^2}}} \cdot \frac{2}{{{a^2}}}\left( {x - {c_w}t} \right)$$

Sehingga....

(10.)

$$P.E = \frac{{{\rho _l}x\cdot c_w^2}}{2}\cdot\xi _0^2{e^{ - 2{{\left( {x - {c_w}t} \right)}^2}/{a^2}}}\cdot\frac{4}{{{a^4}}}{\left( {x - {c_w}t} \right)^2}$$

Pada panjang x yang cukup kecil, maka x berubah menjadi dx, sedang P.E berubah menjadi d(P.E).

(11.)

$$d\left( {P.E} \right) = \frac{{2{\rho _l}c_w^2}}{{{a^4}}}\cdot\xi _0^2{e^{ - 2{{\left( {x - {c_w}t} \right)}^2}/{a^2}}}{\left( {x - {c_w}t} \right)^2}dx$$

Energi potensial (P.E) total adalah integrasi d(P.E) dari 0 hingga P.E. Kita kembali mengintegrasikan persamaan untuk cuilan kecil panjang pegas dx untuk keseluruhan sistem pegas yang dipengaruhi pulsa, yaitu dari x = -∞ hingga ∞.

(12.)

$$\int\limits_0^{P.E} {d\left( {P.E} \right)} = \frac{{2{\rho _l}c_w^2}}{{{a^4}}} \cdot \xi _0^2\int_{ - \infty }^\infty {{e^{ - 2{{\left( {x - {c_w}t} \right)}^2}/{a^2}}}{{\left( {x - {c_w}t} \right)}^2}dx}$$

Dari penjelasan mengenai energi kinetik, kita bisa simpulkan bahwa....

(13.)

$$\int_{ - \infty }^\infty {{e^{ - 2{{\left( {x - {c_w}t} \right)}^2}/{a^2}}}{{\left( {x - {c_w}t} \right)}^2}dx} = \frac{{{a^3}\sqrt \pi }}{{4\sqrt 2 }}$$

Sehingga perumusan (12.) dapat diringkas menjadi seperti berikut.

(14.)

$$\int\limits_0^{P.E} {d\left( {P.E} \right)} = P.E = \frac{{2{\rho _l}c_w^2\xi _0^2}}{{{a^4}}} \cdot \frac{{{a^3}\sqrt \pi }}{{4\sqrt 2 }}$$

(15.)

$$P.E = \frac{{{\rho _l}c_w^2\xi _0^2}}{{2a}} \cdot \sqrt {\frac{\pi }{2}} = K.E$$

Momentum Total dari Pulsa

Pada halaman 73 buku Introduction to Wave Phenomena, terdapat persamaan untuk momentum gelombang pada suatu segmen Δx dari medium (pegas).

(16.)

$$dp = - \Delta x{\rho _l}\left( {\frac{{\partial \xi }}{{\partial x}} \cdot \frac{{\partial \xi }}{{\partial t}}} \right)$$

Jika Δx cukup kecil, maka ia bisa disamakan dengan dx. Lalu, memasukkan ${\frac{{\partial \xi }}{{\partial x}}}$ dan ${\frac{{\partial \xi }}{{\partial t}}}$ yang sudah kita dapatkan di awal, maka persamaan (16.) menjadi seperti berikut.

(17.a)

$$dp = - {\rho _l}\left[ {{\xi _0}{e^{ - {{\left( {x - {c_w}t} \right)}^2}/{a^2}}} \cdot \frac{{2{c_w}}}{{{a^2}}}\left( {x - {c_w}t} \right)} \right] \cdot \left[ { - {\xi _0}{e^{ - {{\left( {x - {c_w}t} \right)}^2}/{a^2}}} \cdot \frac{2}{{{a^2}}}\left( {x - {c_w}t} \right)} \right]dx$$

(17.b)

$$dp = {\rho _l}\left[ {\xi _0^2{e^{ - 2{{\left( {x - {c_w}t} \right)}^2}/{a^2}}} \cdot \frac{{4{c_w}}}{{{a^4}}}{{\left( {x - {c_w}t} \right)}^2}} \right]dx$$

Sebagaimana energi, momentum (p) total adalah integrasi dp dari 0 hingga p. Kita lalu mengintegrasikan persamaan momentum untuk cuilan kecil panjang pegas dx (persamaan dp) ke keseluruhan sistem pegas yang dipengaruhi pulsa, yaitu dari x = -∞ hingga ∞.

(18.)

$$\int_0^p {dp} = \frac{{4{\rho _l}\xi _0^2{c_w}}}{{{a^4}}}\int_{ - \infty }^\infty {\left[ {{e^{ - 2{{\left( {x - {c_w}t} \right)}^2}/{a^2}}} \cdot {{\left( {x - {c_w}t} \right)}^2}} \right]dx}$$

Dari persamaan (13.), kita bisa selesaikan persamaan (18.) dengan cepat.

(19.)

$$\int_0^p {dp} = p = \frac{{4{\rho _l}\xi _0^2{c_w}}}{{{a^4}}} \cdot \frac{{{a^3}\sqrt \pi }}{{4\sqrt 2 }}$$

(20.)

$$p = \frac{{{\rho _l}\xi _0^2{c_w}}}{a} \cdot \sqrt {\frac{\pi }{2}}$$

Walau penilai tidak menilai dari profesionalitas kita - paling tidak kita sudah berusaha bekerja dengan baik.