Polinomial (suku banyak) hermite pertama kali dipelajari oleh Charles Hermite, seorang matematikawan Prancis. Hermite adalah mahasiswa yang sering gagal ketika ujian, bahkan kaki kanannya kurang sempurna sejak lahir; namun hal itu tidak mengurangi rasa ingin tahunya, ia akhirnya mampu menjadi profesor di École Normale dan Sorbonne. Kegiatannya mempelajari polinomial Hermite ini merupakan salah satu kegiatan yang didasari rasa ingin tahunya belaka. Pada awal abad 20, diketahui polinomial hermite ini sangat bermanfaat pada perhitungan-perhitungan yang melibatkan gelombang, misalnya gelombang pada osilator kuantum harmonis, maupun pada paket gelombang gaussian sebagaimana yang sering terlihat pada data-data geofisika. Polinomial hermite merupakan (salah satu) solusi dari persamaan berikut.
(1.)\[\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} - 2x\frac{{dy}}{{dx}} + 2ny = 0,\quad n \in {\mathbb{N}^0}\]
$n$ merupakan bilangan natural 0, 1, 2, 3,...
Menyelesaikan Persamaan Differensial Hermite
Penyelesaian persamaan (1.), dapat dilaksanakan seperti pada artikel saya sebelumnya mengenai polinomial legendre. Namun, ada satu konsep baru yang perlu kita pahami kembali, yaitu setiap fungsi merupakan hasil kali dari dua (atau lebih) fungsi, dalam bahasa matematikanya $y\left( x \right) = g\left( x \right) \cdot h\left( x \right)$. Hal ini membuat persamaan (1.) dapat diselesaikan menggunakan aturan Leibniz, sedemikian sehingga ia dapat diwakili oleh persamaan differensial lain yang lebih mudah diselesaikan namun memiliki bentuk yang mirip (persamaan 2).
(2.a) Menggunakan pemahaman kita bahwa $y\left( x \right) = g\left( x \right) \cdot h\left( x \right)$, maka persamaan (1.) diubah menjadi:
\[\frac{{{d^2}\left\{ {g\left( x \right) \cdot h\left( x \right)} \right\}}}{{d{x^2}}} - 2x\frac{{d\left\{ {g\left( x \right) \cdot h\left( x \right)} \right\}}}{{dx}} + 2n\left\{ {g\left( x \right) \cdot h\left( x \right)} \right\} = 0,\quad n \in {\mathbb{N}^0}.\]
(2.b) Lalu, menggunakan aturan Leibniz:
\[\sum\limits_{k = 0}^2 {\frac{{2!}}{{k!\left( {2 - k} \right)!}} \cdot } \frac{{{d^k}g\left( x \right)}}{{dx}} \cdot \frac{{{d^{2 - k}}h\left( x \right)}}{{dx}} - 2x\left\{ {g'\left( x \right) \cdot h\left( x \right) + g\left( x \right) \cdot h'\left( x \right)} \right\} + 2n\left\{ {g\left( x \right) \cdot h\left( x \right)} \right\} = 0,\quad n \in {\mathbb{N}^0}.\]
(2.c)
\[\left\{ {g''\left( x \right) \cdot h\left( x \right) + 2g'\left( x \right) \cdot h'\left( x \right) + g\left( x \right) \cdot h''\left( x \right)} \right\} - 2x\left\{ {g'\left( x \right) \cdot h\left( x \right) + g\left( x \right) \cdot h'\left( x \right)} \right\} + 2n\left\{ {g\left( x \right) \cdot h\left( x \right)} \right\} = 0,\quad n \in {\mathbb{N}^0}\]
(2.d) Kemudian kita kelompokkan variabel-variabel pada persamaan (2.c), sedemikian sehingga
\[g\left( x \right) \cdot h''\left( x \right) + \left( {2g'\left( x \right) - 2x \cdot g\left( x \right)} \right)h'\left( x \right) + \left( {g''\left( x \right) - 2x \cdot g'\left( x \right)} \right)h\left( x \right) + 2n\left\{ {g\left( x \right) \cdot h\left( x \right)} \right\} = 0,\quad n \in {\mathbb{N}^0},\] dengan\[\begin{gathered}
\begin{array}{*{20}{c}}
{g\left( x \right) \cdot h''\left( x \right)} \\
\downarrow \\
{\frac{{{d^2}h}}{{d{x^2}}}}
\end{array},\quad \begin{array}{*{20}{c}}
{\left( {2g'\left( x \right) - 2x \cdot g\left( x \right)} \right)h'\left( x \right)} \\
\downarrow \\
{2x\frac{{dh}}{{dx}}}
\end{array} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{\left( {g''\left( x \right) - 2x \cdot g'\left( x \right)} \right)h\left( x \right)} \\
\downarrow \\
{2h}
\end{array},\quad \begin{array}{*{20}{c}}
{2n\left\{ {g\left( x \right) \cdot h\left( x \right)} \right\}} \\
\downarrow \\
{2nh}
\end{array} \\
\end{gathered} \]
Implikasi-implikasinya adalah:
$2g'\left( x \right) - 2x \cdot g\left( x \right) = 2x \cdot g\left( x \right).$
$g''\left( x \right) - 2x \cdot g'\left( x \right) = 2 \cdot g\left( x \right).$
Maka
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{g\left( x \right),}&{g'\left( x \right),}&{\begin{array}{*{20}{c}}
{...}&{{g^{\left( n \right)}}\left( x \right)}
\end{array}}
\end{array}} \right\}$
Salah satu fungsi yang mampu memenuhi keadaan seperti itu adalah fungsi eksponensial berikut.
(2.e)
\[g\left( x \right) = {e^{{x^2}}}\]
sedemikian sehingga (2.f)
\[y\left( x \right) = {e^{{x^2}}}h\left( x \right).\]
Setelah mendapatkan bentuk persamaan (2.) dan mengetahui bahwa $g\left( x \right) = {e^{{x^2}}}$ (sedemikian sehingga $y\left( x \right) = {e^{{x^2}}}h\left( x \right)$) pekerjaan kita selanjutnya adalah mencari fungsi $h\left( x \right)$. Pencarian fungsi $h\left( x \right)$ dapat dilaksanakan dengan memakai aturan Leibniz, sehingga didapatkan pernyataan berikut.
(3.)\[y\left( x \right) = {e^{{x^2}}}\frac{{{d^n}}}{{d{x^n}}}{e^{ - {x^2}}} \leftrightarrow h\left( x \right) = \frac{{{d^n}}}{{d{x^n}}}{e^{ - {x^2}}},\quad n \in {\mathbb{N}^0}\]
$n$ merupakan bilangan natural 0, 1, 2, 3,...
Mencari $h\left( x \right)$ dari Persamaan (2.) Menggunakan Aturan Leibniz
(3.a) Mengingat kembali aturan Leibniz, yang menyatakan bahwa:
\[\frac{{{d^n}}}{{d{x^n}}}\left\{ {u\left( x \right)v\left( x \right)} \right\} = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}} \frac{{{d^k}u\left( x \right)}}{{d{x^k}}}\frac{{{d^{n - k}}v\left( x \right)}}{{d{x^{n - k}}}},\quad n \in {\mathbb{N}^0}\]
(3.b) Kemudian dengan menyatakan bahwa $h\left( x \right)$ merupakan fungsi lembut, yang merupakan turunan ke-n dari fungsi lain yang berorde lebih tinggi, sebut saja fungsi itu $v\left( x \right)$...
(3.f) Jika kita memilih C = 0, maka persamaan (3.e) dapat diselesaikan dengan mudah....
\[\begin{gathered}
0 = \frac{{dv}}{{dx}} + 2x \cdot v\left( x \right) \\
- 2x \cdot v\left( x \right) = \frac{{dv}}{{dx}} \\
- 2\int {x\;dx} = \int {\frac{1}{{v\left( x \right)}}} dv \\
\ln v\left( x \right) = - {x^2} \leftrightarrow v\left( x \right) = {e^{ - {x^2}}} \\
\end{gathered} \]
(3.g) Persamaan $v\left( x \right) = {e^{ - {x^2}}}$ mengimplikasikan \[h\left( x \right) = \frac{{{d^n}}}{{d{x^n}}}{e^{ - {x^2}}}\]
sedemikian sehingga (3.h)
\[y\left( x \right) = {e^{{x^2}}}\frac{{{d^n}}}{{d{x^n}}}{e^{ - {x^2}}}.\]
Bentuk persamaan Hn(x) didapatkan dengan cara mengalikan $y\left( x \right)$ dengan suatu konstanta K sedemikian sehingga suku terbesar $y\left( x \right)$ tetap bernilai positif berapapun n-nya. Karena suku terbesar dari $y\left( x \right)$ adalah
(3.1)\[y\left( x \right) = {\left( { - 2x} \right)^n} + \ldots \quad n \in {\mathbb{N}^0}\]
maka koefisien K juga perlu menyesuaikan,
(3.2)\[K = {\left( { - 1} \right)^n}\]
sehingga Hn(x) adalah
(4.)\[{H_n}\left( x \right) = {\left( { - 1} \right)^n}{e^{{x^2}}}\frac{{{d^n}}}{{d{x^n}}}{e^{ - {x^2}}},\quad n \in {\mathbb{N}^0}\]
$n$ merupakan bilangan natural 0, 1, 2, 3,...
"Dalam matematika, kita lebih sebagai abdi ketimbang ahli". (Charles Hermite, 1822 - 1901)
Algoritma Komputasi
Untuk perhitungan di komputer, biasanya digunakan perumusan berikut.
$ \lfloor x \rfloor $ adalah fungsi lantai yang berguna untuk membulatkan semua angka desimal x ke bawah, dalam Javascript dipanggil dengan Math.floor(angka);.
Perumusan (5.) ditemukan dengan metode Frobenius untuk menentukan karakteristik fungsi yang diwakili deret n = genap dan n = ganjil. Fungsi dengan deret n-genap memiliki suku pertama a0 dan deret n=ganjil memiliki suku pertama a1x. Besar a0 dan a1 dicari dengan mengkondisikan suku terbesar anxn = cna0∨1xn = (2x)n, "∨" dapat diartikan sebagai "atau". Bisa juga perumusan (5.) ditentukan hanya dengan melihat pola ${H_n}\left( x \right)$ untuk berbagai nilai n (jika memang orangnya sangat lihai dalam melihat pola).
Matriks Persegi, Permutasi, dan Fungsi Signum Matriks persegi merupakan matriks dengan jumlah kolom dan baris sama besar, ${\rm{n \times n}}$ dengan komponennya adalah $A$. Matriks ${\bf{A}}$ berikut merupakan matriks persegi berukuran ${\rm{4 \times 4}}$. \[{\bf{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&4&8&2\\ 4&1&0&7\\ 6&3&3&5\\ 9&2&4&1 \end{array}} \right]\] Permutasi merupakan langkah menyusun kembali suatu barisan angka-angka. Permutasi ganjil terjadi jika suatu susunan angka-angka baru tercapai setelah memindahkan anggota barisan awal sebanyak 1, 3, 5, ...$\in $ ganjil kali, begitupun dengan permutasi genap. Contohnya adalah sebagai berikut: TABEL 1. Susunan Awal {1,2,3,4} Banyaknya Pemindahan Angka 1 Kali 2 Kali 3 Kali {2,1,3,4} {1,3,2,4} {1,2,4,3} {1,4,3,2} {3,2,1,4} {4,2,3,1} {2,3,1,4} {1,3,4,2} {1,4,2,3} {3,4,1,2} {3,1,2,4} {3,2,4,1} {2,1,4,3} {2,4,3,1} {4,3,2,1} {4,2,1,3} {4,1,3,2}...
Fungsi error merupakan salah satu fungsi spesial yang tidak memiliki kaitan sama sekali dengan error atau kesalahan pengukuran. Lebih lanjut, fungsi error ini terkait dengan luasan kurva lonceng $y = {e^{ - {t^2}}}$ dari 0 hingga x. (1.) \[erf(x) = \frac{2}{{\sqrt \pi }}\int\limits_0^x {{e^{ - {t^2}}}dt} \] Deskripsi penggunaan fungsi error dijelaskan oleh gambar berikut. Titik-titik pada sumbu bukanlah puluhan, hal tersebut terjadi karena penggunaan font gambar yang kurang baik :-(. Pencarian Nilai Fungsi Error pada Nilai x Kecil Nilai fungsi error dapat didekati dengan menggunakan deret Mac Laurin pada nilai x kecil (nilai x antara -1 dan 1). Pencarian deret Mac Laurin untuk fungsi error (erf) di atas bisa kita mulai dengan pengertian deret Mac Laurin itu sendiri. Deret Mac Laurin (2.) \[f\left( x \right) = f\left( 0 \right) + x \cdot f'\left( 0 \right) + {x^2} \cdot \frac{{{f^2}\left( 0 \right)}}{{2!}} + ... + {x^n} \cdot \frac{{{f^n}\left( 0 \right)}}{{n!}} + ...\] ...
Taqabbalallahu minna wa minkum, minal aidzin wal faidzin! Akhirnya kita telah melewati 30 hari puasa Ramadhan 1433 Hijriah. Bagaimana Ramadhan kali ini pembaca ? Semoga amal ibadah kita yang telah lalu diridhai oleh Allah SWT. :-) Fian ceritanya mau mohon maaf lahir bathin dahulu, jikalau ada salah-salah segala macam :'( Maafin ya ... Sekarang Fian ceritanya mau bahas mengenai swanilai (eigenvalue) dan perannya dalam pengenalan wajah. Pembaca pasti sudah tahu kan teknologi pengenalan wajah di beberapa aplikasi atau situs jejaring sosial? Nah teknik pengenalan wajah ini dapat terlaksana diantaranya dengan menggunakan swanilai dari matriks-matriks yang berisi data gambar wajah. Sebelum kita mengetahui swanilai dari suatu gambar, kita perlu memiliki database gambar-gambar wajah. Kemudian, gambar-gambar wajah di database ini dibaca lalu diubah menjadi gambar monokrom secara otomatis (menggunakan MATLAB, Octave, atau skrip yang kita buat sendiri). Gambar monokrom ini memiliki ni...
Komentar
Posting Komentar